напиши каспек по теме окружность 78

Кратко: окружность — это множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки (центра). Круг — это окружность вместе с внутренней областью. Ниже — конспект для 7–8 класса: элементы, углы, касательная, хорды и основные формулы.

1. Определения

• Окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\): все точки \(X\), для которых \(OX=R\).
• Круг — точки, для которых \(OX \le R\).
• Радиус — отрезок от центра до точки окружности. Все радиусы равны.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр: \(d=2R\). Это наибольшая хорда.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Дуга — часть окружности между двумя точками.
• Касательная — прямая, у которой с окружностью ровно одна общая точка.
• Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.

2. Углы в окружности

Центральный угол — вершина в центре, стороны — радиусы. Он равен дуге, на которую опирается: \[ \angle AOB = \smile AB. \]

Вписанный угол — вершина на окружности, стороны — хорды. Он равен половине дуги, на которую опирается: \[ \angle ABC = \frac{1}{2}\smile AC. \]

Отсюда главные следствия:

• вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны;
• вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\);
• если вписанный угол равен \(90^\circ\), то он опирается на диаметр.

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, заключённой между ними.

3. Касательная и хорды

• Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
• Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
• Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам и делит пополам стягиваемые ею дуги.
• Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
• Если хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(M\), то \[ AM\cdot MB=CM\cdot MD. \]
• Если из точки вне окружности проведены касательная \(MT\) и секущая, пересекающая окружность в точках \(A\) и \(B\), то \[ MT^2=MA\cdot MB. \]

4. Прямая и окружность

Пусть \(d\) — расстояние от центра до прямой, \(R\) — радиус.

• \(d>R\) — общих точек нет;
• \(d=R\) — прямая касается окружности;
• \(d<R\) — прямая пересекает окружность в двух точках.

5. Окружности и треугольник

• Вписанная окружность касается всех сторон треугольника. Её центр — точка пересечения биссектрис.
• Описанная окружность проходит через все вершины. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
• В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому \[ R=\frac{c}{2}, \] где \(c\) — гипотенуза.

Полезно знать формулы: \[ r=\frac{S}{p},\qquad R=\frac{abc}{4S}, \] где \(p\) — полупериметр, \(S\) — площадь треугольника.

6. Основные формулы

Длина окружности: \[ C=2\pi R=\pi d. \]

Площадь круга: \[ S=\pi R^2. \]

Если нужно, для дуги в \(\alpha^\circ\): \[ l=\frac{\pi R\alpha}{180^\circ}, \] а площадь сектора: \[ S_{\text{сект}}=\frac{\pi R^2\alpha}{360^\circ}. \]

7. Мини-проверка

1. Дуга равна \(80^\circ\). Тогда центральный угол равен \(80^\circ\), а вписанный, опирающийся на эту дугу, — \(40^\circ\).
2. Хорда равна \(8\), расстояние от центра до неё \(3\). Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам: половина хорды \(4\). Тогда \[ R=\sqrt{4^2+3^2}=5. \]

Главное для задач: сначала определи, какой угол дан — центральный или вписанный; затем найди дугу. Если есть касательная — проведи радиус в точку касания и используй прямой угол. Если есть хорда — опусти перпендикуляр из центра: получится прямоугольный треугольник с половиной хорды.