ответы на номер 3.13

Кратко — ответы:

• 3.13 а) \(-\frac{2}{z+3}\), при \(z\ne -3,\ z\ne 3\);
• б) \(\frac{x+y}{y}\), при \(y\ne0,\ x\ne y\);
• в) \(-\frac{3}{t+7}\), при \(t\ne -7,\ t\ne 7\);
• г) \(\frac{p+q}{p}\), при \(p\ne0,\ p\ne q\).

Как это получается

Общий приём: если знаменатели одинаковые, складываем или вычитаем числители. Если знаменатели отличаются только знаком, меняем знак перед дробью. Затем раскладываем на множители и сокращаем.

а)
\[ \frac{2z}{9-z^{2}}-\frac{6}{9-z^{2}} =\frac{2z-6}{9-z^{2}} =\frac{2(z-3)}{-(z-3)(z+3)} =-\frac{2}{z+3}. \]

б)
Так как \(y^{2}-xy=-(xy-y^{2})\), \[ \frac{x^{2}+1}{y(x-y)}-\frac{y^{2}+1}{y(x-y)} =\frac{x^{2}-y^{2}}{y(x-y)} =\frac{(x-y)(x+y)}{y(x-y)} =\frac{x+y}{y}. \]

в)
\[ \frac{3t}{49-t^{2}}-\frac{21}{49-t^{2}} =\frac{3t-21}{49-t^{2}} =\frac{3(t-7)}{-(t-7)(t+7)} =-\frac{3}{t+7}. \]

г)
Так как \(pq-p^{2}=-p(p-q)\), \[ \frac{p^{2}-2}{p(p-q)}-\frac{q^{2}-2}{p(p-q)} =\frac{p^{2}-q^{2}}{p(p-q)} =\frac{(p-q)(p+q)}{p(p-q)} =\frac{p+q}{p}. \]

Проверка, например, для г) при \(p=3,\ q=2\): исходное выражение равно \(\frac{7}{3}+(-\frac{2}{3})=\frac{5}{3}\), и \(\frac{p+q}{p}=\frac{5}{3}\).