сколько существует целых чисел для которых выполняется неравенства

Краткий ответ: 3 целых числа — \(5\), \(6\) и \(7\).

Как рассуждать

1. Левая граница: \[ 4\frac{5}{16}=4{,}3125. \] Значит, \(x\) должно быть больше \(4{,}3125\), поэтому наименьшее подходящее целое — \(5\).

2. Правая граница: \[ 7\frac{11}{18}\approx 7{,}6111. \] Значит, \(x<7{,}6111\), поэтому наибольшее подходящее целое — \(7\).

3. Целые числа в промежутке: \[ 5,\ 6,\ 7. \] Их количество: \[ 7-5+1=3. \]

Проверка:
\[ 4\frac{5}{16}<5<6<7<7\frac{11}{18}. \] Всё верно.