279. Длина прямоугольника на 5 см больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36 см²?

Дано:

Прямоугольник; длина на \(5\) см больше ширины; площадь \(S>36\) см².

Пусть ширина — \(x\) см, тогда длина — \((x+5)\) см.

Найти: \(x\) (ширину прямоугольника).

---

В тетради это обычно записывают так:

Дано: \(a\) — длина, \(b\) — ширина; \(a=b+5\) см; \(S>36\) см².

Найти: \(b\).

Решение: \(S=b(b+5)\), значит \(b(b+5)>36\), то есть \(b>4\) см.

Ответ: ширина должна быть больше \(4\) см.

По фото №279 — биквадратные уравнения. Общий приём: делаем замену \(x^2=t\), где \(t\ge 0\), решаем квадратное уравнение, затем возвращаемся к \(x\).

а) \(x^4-25x^2+144=0\)

Пусть \(x^2=t\), \(t\ge0\):

\[ t^2-25t+144=0 \]

\[ D=625-576=49,\qquad t_{1,2}=\frac{25\pm7}{2} \]

\[ t_1=16,\qquad t_2=9 \]

Возвращаемся:

\[ x^2=16 \Rightarrow x=\pm4 \]

\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3 \]

Ответ: \(-4;\ -3;\ 3;\ 4\).

---

б) \(y^4+14y^2+48=0\)

Пусть \(y^2=t\), \(t\ge0\):

\[ t^2+14t+48=0 \]

\[ D=196-192=4 \]

\[ t_{1,2}=\frac{-14\pm2}{2} \]

\[ t_1=-6,\qquad t_2=-8 \]

Оба значения отрицательны, а \(y^2\ge0\). Значит, действительных корней нет.

Ответ: действительных корней нет.

---

в) \(x^4-4x^2+4=0\)

Пусть \(x^2=t\):

\[ t^2-4t+4=0 \]

\[ (t-2)^2=0 \]

\[ t=2 \]

Значит:

\[ x^2=2 \]

\[ x=\pm\sqrt2 \]

Ответ: \(-\sqrt2;\ \sqrt2\).

---

г) \(t^4-2t^2-3=0\)

Пусть \(t^2=u\), \(u\ge0\):

\[ u^2-2u-3=0 \]

\[ (u-3)(u+1)=0 \]

\[ u=3 \quad\text{или}\quad u=-1 \]

Значение \(-1\) не подходит, так как \(u=t^2\ge0\). Остаётся:

\[ t^2=3 \]

\[ t=\pm\sqrt3 \]

Ответ: \(-\sqrt3;\ \sqrt3\).

---

д) \(2x^4-9x^2+4=0\)

Пусть \(x^2=u\):

\[ 2u^2-9u+4=0 \]

\[ D=81-32=49 \]

\[ u_{1,2}=\frac{9\pm7}{4} \]

\[ u_1=4,\qquad u_2=\frac12 \]

Возвращаемся:

\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \]

\[ x^2=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt2}=\pm\frac{\sqrt2}{2} \]

Ответ: \(-2;\ -\frac{\sqrt2}{2};\ \frac{\sqrt2}{2};\ 2\).

---

е) \(5y^4-5y^2+2=0\)

Пусть \(y^2=u\):

\[ 5u^2-5u+2=0 \]

\[ D=25-40=-15<0 \]

Дискриминант отрицательный, поэтому действительных корней нет.

Ответ: действительных корней нет.