18 Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1)
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
18 Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке (сторона квадратной клетки равна 1) [Рисунок: на клетчатой сетке изображён наклонный параллелограмм с горизонтальными верхней и нижней сторонами.] 19 Укажите номера верных утверждений:
- В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
- Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то это квадрат. 20 Решите уравнение \((4x+10)^4-21(4x+10)^2-100=0\). 21 Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути — со скоростью, меньшей скорости первого на 6 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 91 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 49 км/ч. Ответ дайте в км/ч. 22 Постройте график функции \(y=|x^2-4|\). Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс? 23 Окружность пересекает стороны FM и FE треугольника FME в точках P и B соответственно и проходит через вершины M и E. Найдите длину отрезка PB, если FP = 95, а сторона FE в 2,5 раза больше стороны ME. 24 В остроугольном треугольнике KRX проведены высоты \(KK_1\) и \(RR_1\). Докажите, что углы \(\angle KK_1R_1\) и \(\angle KRR_1\) равны. 25 В параллелограмме ZFPK проведена диагональ ZP. Точка B является центром окружности, вписанной в треугольник ZFP. Расстояния от точки B до точки Z и прямых ZK и ZP соответственно равны 10, 8 и 6. Найдите площадь параллелограмма ZFPK.
На фото несколько заданий (18–25), поэтому разбираю их по порядку.
Краткие ответы:
18) 10; 19) 12; 20) \(-\frac{15}{4},-\frac{5}{4}\); 21) 84; 22) 4; 23) 38; 24) доказательство; 25) 672.
18. Площадь параллелограмма
По клеткам: основание \(5\), высота \(2\).
\[
S=5\cdot 2=10
\]
Ответ: 10.
19. Верные утверждения
- Верно: диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
- Верно.
- Неверно: равные и перпендикулярные диагонали не обязаны делиться пополам, значит четырёхугольник не обязательно квадрат.
Ответ: 12.
20. Уравнение
\[ (4x+10)^4-21(4x+10)^2-100=0 \] Обозначим \(t=(4x+10)^2\), \(t\ge 0\): \[ t^2-21t-100=0 \] \[ (t-25)(t+4)=0 \] Подходит только \(t=25\): \[ (4x+10)^2=25 \] \[ 4x+10=\pm 5 \] \[ x=-\frac54 \quad \text{или}\quad x=-\frac{15}{4} \] Ответ: \(-\frac{15}{4};\,-\frac54\).
21. Скорость первого автомобиля
Пусть скорость первого равна \(v>49\), весь путь \(S\). Тогда
\[
\frac{S/2}{v-6}+\frac{S/2}{91}=\frac{S}{v}.
\]
Сокращаем на \(S\):
\[
\frac{1}{v-6}+\frac{1}{91}=\frac{2}{v}.
\]
После преобразований:
\[
v^2-97v+1092=0,
\]
\[
v=13 \quad \text{или}\quad v=84.
\]
Так как \(v>49\), получаем \(v=84\).
Ответ: 84 км/ч.
22. График \(y=|x^2-4|\)
\[ y= \begin{cases} x^2-4, & |x|\ge 2,\\ 4-x^2, & |x|\le 2. \end{cases} \] Горизонтальная прямая \(y=a\):
- при \(0<a<4\) имеет 4 общие точки;
- при \(a=4\) — 3 точки;
- при остальных \(a\) — не больше 2.
Наибольшее число точек: 4.
23. Отрезок \(PB\)
Точки \(P,B,E,M\) лежат на одной окружности, поэтому треугольники \(FPB\) и \(FME\) подобны. Тогда \[ \frac{PB}{ME}=\frac{FP}{FE}. \] Дано \(FE=2{,}5\,ME\), \(FP=95\): \[ PB=ME\cdot \frac{95}{2{,}5\,ME} =\frac{95}{2{,}5}=38. \] Ответ: 38.
24. Доказательство
Так как \(KK_1\perp RX\), то \[ \angle KK_1R=90^\circ. \] Так как \(RR_1\perp KX\), то \[ \angle KR_1R=90^\circ. \] Значит, точки \(K,K_1,R,R_1\) лежат на окружности с диаметром \(KR\). Углы \[ \angle KK_1R_1 \quad \text{и}\quad \angle KRR_1 \] вписанные и опираются на одну и ту же хорду \(KR_1\), поэтому они равны. Что и требовалось доказать.
25. Площадь параллелограмма
Пусть вписанная окружность треугольника \(ZFP\) касается \(ZP\) в точке \(T\). Радиус равен расстоянию от \(B\) до \(ZP\), то есть \(6\). Тогда \[ BT=6,\quad BZ=10, \] \[ ZT=\sqrt{10^2-6^2}=8. \] Если отрезки касательных из вершин \(F\) и \(P\) равны \(x\) и \(y\), то \[ FP=x+y, \] а полупериметр треугольника \[ s=ZT+x+y=8+FP. \] Площадь треугольника \(ZFP\): \[ S_{\triangle}=r s=6(8+FP). \] С другой стороны, \(ZK\parallel FP\), поэтому высота из \(Z\) к \(FP\) равна \[ 8+6=14. \] Тогда \[ S_{\triangle}=\frac12\cdot FP\cdot 14=7FP. \] Получаем: \[ 7FP=6(8+FP), \] \[ FP=48. \] Значит, \[ S_{\triangle}=7\cdot 48=336. \] Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому \[ S_{ZFPK}=2\cdot 336=672. \] Ответ: 672.
