В треугольнике ABC проведены медианы AM и BK. Известно, что AM = 9, BK = 12, а угол между ними равен 90° (медианы перпендикулярны). Найдите площадь треугольника ABC.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
В треугольнике \(ABC\) проведены медианы \(AM\) и \(BK\). Известно, что \(AM = 9\), \(BK = 12\), а угол между ними равен \(90^\circ\) (медианы перпендикулярны).
Найдите площадь треугольника \(ABC\).
Точка пересечения медиан \(G\) делит их в отношении \(2:1\), поэтому \(AG=6\), \(BG=8\). Тогда \[ S_{ABG}=\frac12\cdot6\cdot8=24. \] Треугольники \(ABG, BCG, CAG\) равновелики, значит \[ S_{ABC}=3\cdot24=72. \]
Ответ: \(72\).
Обсуждение
2 сообщенияСделай эту задачу через рисунок
Рисунок-ключ:
B
|\
| \
8 | \
| \
|____\ A
G 6
Здесь \(G\) — точка пересечения медиан. Медианы делятся в отношении \(2:1\), поэтому
\[ AG=\frac23\cdot 9=6,\qquad BG=\frac23\cdot 12=8. \]
Треугольник \(ABG\) прямоугольный, значит
\[ S_{ABG}=\frac12\cdot 6\cdot 8=24. \]
Медианы разбивают \(ABC\) на три равновеликих треугольника, поэтому
\[ S_{ABC}=3\cdot 24=72. \]
Ответ: \(72\).
