Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.

Для нижнего блока с высотой ответы по порядку строк: \(12,\ 6,\ 8,\ 10\). Если нужна только первая строка, то \(AB=12\).

На фото есть ещё верхние задания; они мелкие, поэтому ниже разбираю полностью читаемый нижний блок.

Почему работает формула. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(B\) высота \(BH\) опущена на гипотенузу \(AC\). Треугольники \(AHB\) и \(ABC\) подобны: угол \(A\) общий, а \(\angle AHB=\angle ABC=90^\circ\). Поэтому \[ \frac{AH}{AB}=\frac{AB}{AC}. \] Отсюда \[ AB^2=AH\cdot AC,\qquad AB=\sqrt{AH\cdot AC}. \]

То есть катет \(AB\) — среднее геометрическое гипотенузы \(AC\) и своей проекции \(AH\) на гипотенузу.

Подставляем: \[ AB=\sqrt{6\cdot24}=\sqrt{144}=12; \] \[ AB=\sqrt{3\cdot12}=\sqrt{36}=6; \] \[ AB=\sqrt{4\cdot16}=\sqrt{64}=8; \] \[ AB=\sqrt{5\cdot20}=\sqrt{100}=10. \]

Проверка для первого случая: \[ AH=\frac{AB^2}{AC}=\frac{12^2}{24}=6, \] всё сходится. Во всех четырёх вариантах \(AC=4AH\), поэтому \(AB=2AH\).

Если нужны верхние задачи с клетчатой бумагой, пришли их крупнее.