Реши каждую задачу по схеме Дано Найти Решение Кроме 24 задачи, там пиши Дано Доказать Доказаткльство И чжелай к каждой задаче чертеж

Ниже решения задач 23–25. Чертёжи схематичные, не в масштабе.

Задача 23

Чертёж:

        B
      /   \
     /     \     дуги: AB=3x, BC=5x, CA=16x
    A-------C

Дано:
\(\triangle ABC\) вписан в окружность радиуса \(R\);
дуги \(AB:BC:CA=3:5:16\);
большая сторона треугольника равна \(12\).

Найти: \(R\).

Решение:
\[ 3x+5x+16x=360^\circ \Rightarrow 24x=360^\circ \Rightarrow x=15^\circ. \] Дуги равны \(45^\circ,\ 75^\circ,\ 240^\circ\).
Углы треугольника: \[ \frac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ,\qquad \frac{75^\circ}{2}=37{,}5^\circ,\qquad \frac{240^\circ}{2}=120^\circ. \] Наибольший угол \(120^\circ\), против него лежит большая сторона \(12\). Тогда \[ 12=2R\sin 60^\circ=R\sqrt3, \] \[ R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3. \]

Ответ: \(4\sqrt3\).

Задача 24

Чертёж:

      D -------- C
     / \        /
    /   \      /
   A-----N----B

\(N\) — середина \(AB\), \(ND=NC\).

Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм;
\(N\) — середина \(AB\);
\(NC=ND\).

Доказать:
\(ABCD\) — прямоугольник.

Доказательство:
Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому \[ AD=BC. \] Так как \(N\) — середина \(AB\), \[ AN=BN. \] По условию \[ ND=NC. \] Значит, треугольники \(AND\) и \(BNC\) равны по трём сторонам: \[ \triangle AND\cong\triangle BNC. \] Следовательно, \[ \angle DAN=\angle CBN. \] Но \(N\in AB\), поэтому \[ \angle DAN=\angle DAB,\qquad \angle CBN=\angle CBA. \] То есть соседние углы параллелограмма при вершинах \(A\) и \(B\) равны.
А сумма соседних углов параллелограмма равна \(180^\circ\): \[ \angle DAB+\angle CBA=180^\circ. \] Так как они равны, каждый равен \(90^\circ\): \[ \angle DAB=90^\circ. \] Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Ч.т.д.

Задача 25

Чертёж:

          P
          |
          B ---- C
          |       \
          E        \
          |         \
          A --------- D

\(AB\perp BC\), \(AD\parallel BC\), окружность проходит через \(C,D\) и касается \(AB\) в точке \(E\).

Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\);
\(AB\perp BC\);
\(AD=45\), \(BC=20\);
окружность проходит через \(C,D\) и касается прямой \(AB\) в точке \(E\).

Найти:
расстояние от \(E\) до прямой \(CD\).

Решение:
Пусть \(P=AB\cap CD\).
Так как \(AD\parallel BC\), треугольники \(PBC\) и \(PAD\) подобны. Поэтому \[ \frac{PC}{PD}=\frac{BC}{AD}=\frac{20}{45}=\frac49. \] Пусть \[ PC=4x,\qquad PD=9x. \] По теореме о касательной и секущей: \[ PE^2=PC\cdot PD=4x\cdot9x=36x^2, \] откуда \[ PE=6x. \]

Расстояние от \(E\) до прямой \(CD\) равно высоте треугольника \(EPC\), проведённой к стороне \(PC\): \[ d=PE\cdot\sin\angle EPC. \] Треугольник \(PBC\) прямоугольный, так как \(PB\perp BC\). Значит, \[ \sin\angle EPC=\sin\angle BPC=\frac{BC}{PC} =\frac{20}{4x}=\frac5x. \] Тогда \[ d=6x\cdot\frac5x=30. \]

Ответ: \(30\).

Ответы:
23) \(4\sqrt3\);
24) доказано;
25) \(30\).