закон всемирного тяготения конспект

Краткий ответ

Закон всемирного тяготения: два любых материальных тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

\[ F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} \]

где \(G \approx 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}\) — гравитационная постоянная.

Сила направлена вдоль прямой, соединяющей центры тел, и для обоих тел одинакова по модулю (третий закон Ньютона).

Ключевые шаги и доводы

1. Что значит «всемирное». Притяжение действует между любыми телами, у которых есть масса: планетами, камнями, молекулами. Просто для маленьких масс оно очень слабое.

2. Смысл формулы.

• чем больше массы \(m_1\) и \(m_2\), тем сильнее притяжение;
• чем больше расстояние \(r\), тем слабее притяжение — причём при увеличении \(r\) в 2 раза сила падает в \(2^2 = 4\) раза.

3. Почему \(1/r^2\). Гравитация «распределяется» по сфере радиусом \(r\), а площадь сферы растёт как \(r^2\). Поэтому во столько же раз ослабевает действие.

4. Как получается ускорение свободного падения. У поверхности Земли сила тяжести \(mg\) — это и есть гравитационная сила:

\[ mg = G\frac{Mm}{R^2} \quad\Rightarrow\quad g = G\frac{M}{R^2} \]

Масса падающего тела сокращается — поэтому все тела падают с одинаковым ускорением (если пренебречь сопротивлением воздуха).

5. Границы применимости.

• формула точна для материальных точек;
• для однородных шаров \(r\) — расстояние между их центрами;
• для тел сложной формы на малых расстояниях нужны более сложные расчёты;
• при очень сильных полях и скоростях, близких к скорости света, нужна теория относительности.

Проверка

Проверим размерность \(G\):

\[ [G]=\frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} =\frac{\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}^2}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2} =\frac{\text{м}^3}{\text{кг}\cdot\text{с}^2} \]

Тогда в формуле:

\[ [F]=\frac{\text{м}^3}{\text{кг}\cdot\text{с}^2}\cdot\frac{\text{кг}^2}{\text{м}^2} =\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}^2}=\text{Н} \]

Размерность сходится.

Числовой пример. Два тела по \(10\) кг на расстоянии \(2\) м:

\[ F=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{10\cdot10}{2^2} \approx 1{,}67\cdot10^{-9}\ \text{Н} \]

Сила ничтожно мала — поэтому в быту мы не замечаем притяжения между предметами. А для Земли (\(M\approx 6\cdot10^{24}\) кг) гравитация становится огромной.

Как запомнить: «массы перемножаем, расстояние в квадрате делим, G ставим множителем».