Ниже — полные решения с выводом каждой формулы, подстановкой чисел и проверкой.

Что понадобится во всех задачах

Период и частота свободных колебаний контура:

\[T=2\pi\sqrt{LC},\qquad \nu=\frac{1}{T},\qquad \omega=2\pi\nu=\frac{2\pi}{T}=\frac{1}{\sqrt{LC}}.\]

Отсюда рабочая формула для индуктивности и ёмкости (возводим \(T=2\pi\sqrt{LC}\) в квадрат):

\[T^{2}=4\pi^{2}LC\ \Rightarrow\ L=\frac{T^{2}}{4\pi^{2}C},\qquad C=\frac{T^{2}}{4\pi^{2}L}.\]

Если заряд меняется по закону \(q=q_{\max}\cos\omega t\), то ток — производная заряда:

\[i=q'=-\omega q_{\max}\sin\omega t,\qquad I_{\max}=\omega q_{\max}.\]

Энергия контура сохраняется и переходит из конденсатора в катушку:

\[W=\frac{q_{\max}^{2}}{2C}=\frac{LI_{\max}^{2}}{2}=\frac{CU_{\max}^{2}}{2},\qquad U_{\max}=\frac{q_{\max}}{C}.\]

---

Вариант 1

Задача 1

Дано: \(T=0{,}5\) мкс \(=5\cdot10^{-7}\) с; \(C=400\) пФ \(=4\cdot10^{-10}\) Ф.

а) Частота колебаний

Частота — величина, обратная периоду:

\[\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{5\cdot10^{-7}}=0{,}2\cdot10^{7}=2\cdot10^{6}\ \text{Гц}.\]

Ответ: \(\nu=2\cdot10^{6}\) Гц \(=2\) МГц.

б) Индуктивность катушки

Из \(T=2\pi\sqrt{LC}\):

\[L=\frac{T^{2}}{4\pi^{2}C}.\]

Считаем числитель: \(T^{2}=(5\cdot10^{-7})^{2}=25\cdot10^{-14}=2{,}5\cdot10^{-13}\) с². Знаменатель: \(4\pi^{2}C\approx39{,}5\cdot4\cdot10^{-10}=1{,}58\cdot10^{-8}\).

\[L=\frac{2{,}5\cdot10^{-13}}{1{,}58\cdot10^{-8}}\approx1{,}6\cdot10^{-5}\ \text{Гн}.\]

Ответ: \(L\approx1{,}6\cdot10^{-5}\) Гн \(=16\) мкГн.

Проверка: \(T=2\pi\sqrt{1{,}6\cdot10^{-5}\cdot4\cdot10^{-10}}=2\pi\sqrt{6{,}4\cdot10^{-15}}\approx2\pi\cdot8\cdot10^{-8}\approx5\cdot10^{-7}\) с — совпадает.

в) Как изменить индуктивность

Запишем частоту через \(L\) и \(C\):

\[\nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.\]

Ёмкость не меняется, значит \(\nu\sim\dfrac{1}{\sqrt{L}}\). Чтобы частота выросла в 3 раза, подкоренное выражение должно уменьшиться в 3 раза, то есть \(L\) — в \(3^{2}=9\) раз.

Проверка формулой: если \(L'=\dfrac{L}{9}\), то \[\nu'=\frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{L}{9}C}}=\frac{1}{2\pi\cdot\frac{1}{3}\sqrt{LC}}=3\nu.\]

Ответ: индуктивность нужно уменьшить в 9 раз (до \(\approx1{,}8\) мкГн).

Задача 2

Дано: \(L=0{,}4\) мГн \(=4\cdot10^{-4}\) Гн; \(q=2\cdot10^{-3}\cos(100\pi t)\) Кл.

Сравниваем с общим видом \(q=q_{\max}\cos\omega t\) и получаем: \(q_{\max}=2\cdot10^{-3}\) Кл, \(\omega=100\pi\) рад/с \(\approx314\) рад/с.

а) Максимальный заряд

Амплитуда — это множитель перед косинусом (косинус меняется от \(-1\) до \(1\)).

Ответ: \(q_{\max}=2\cdot10^{-3}\) Кл \(=2\) мКл.

б) Максимальная сила тока

Берём производную:

\[i=q'=\left(2\cdot10^{-3}\cos100\pi t\right)'=-2\cdot10^{-3}\cdot100\pi\sin100\pi t=-0{,}2\pi\sin100\pi t.\]

Амплитуда тока — модуль коэффициента перед синусом:

\[I_{\max}=\omega q_{\max}=100\pi\cdot2\cdot10^{-3}=0{,}2\pi\approx0{,}63\ \text{А}.\]

Ответ: \(I_{\max}\approx0{,}63\) А.

в) Полная энергия контура

Сначала найдём ёмкость. Из \(\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) следует \(C=\dfrac{1}{\omega^{2}L}\):

\[C=\frac{1}{(100\pi)^{2}\cdot4\cdot10^{-4}}=\frac{1}{9{,}87\cdot10^{4}\cdot4\cdot10^{-4}}=\frac{1}{39{,}5}\approx2{,}53\cdot10^{-2}\ \text{Ф}.\]

Теперь энергия электрического поля при максимальном заряде:

\[W=\frac{q_{\max}^{2}}{2C}=\frac{(2\cdot10^{-3})^{2}}{2\cdot2{,}53\cdot10^{-2}}=\frac{4\cdot10^{-6}}{5{,}06\cdot10^{-2}}\approx7{,}9\cdot10^{-5}\ \text{Дж}.\]

Ответ: \(W\approx7{,}9\cdot10^{-5}\) Дж \(\approx79\) мкДж.

Проверка через катушку: \(W=\dfrac{LI_{\max}^{2}}{2}=\dfrac{4\cdot10^{-4}\cdot(0{,}628)^{2}}{2}\approx7{,}9\cdot10^{-5}\) Дж — то же значение, значит решение верно.

---

Вариант 2

Задача 1

Дано: \(I_{\max}=4\) мкА \(=4\cdot10^{-6}\) А; \(T=5\) мкс \(=5\cdot10^{-6}\) с; \(L=40\) мГн \(=4\cdot10^{-2}\) Гн.

а) Частота колебаний

\[\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{5\cdot10^{-6}}=0{,}2\cdot10^{6}=2\cdot10^{5}\ \text{Гц}.\]

Ответ: \(\nu=2\cdot10^{5}\) Гц \(=200\) кГц.

б) Электроёмкость конденсатора

\[C=\frac{T^{2}}{4\pi^{2}L}=\frac{(5\cdot10^{-6})^{2}}{39{,}5\cdot4\cdot10^{-2}}=\frac{2{,}5\cdot10^{-11}}{1{,}58}\approx1{,}6\cdot10^{-11}\ \text{Ф}.\]

Ответ: \(C\approx1{,}6\cdot10^{-11}\) Ф \(\approx16\) пФ.

в) Максимальное напряжение на конденсаторе

Находим полную энергию по максимальному току:

\[W=\frac{LI_{\max}^{2}}{2}=\frac{4\cdot10^{-2}\cdot(4\cdot10^{-6})^{2}}{2}=\frac{4\cdot10^{-2}\cdot16\cdot10^{-12}}{2}=3{,}2\cdot10^{-13}\ \text{Дж}.\]

Из \(W=\dfrac{CU_{\max}^{2}}{2}\):

\[U_{\max}=\sqrt{\frac{2W}{C}}=\sqrt{\frac{6{,}4\cdot10^{-13}}{1{,}6\cdot10^{-11}}}=\sqrt{4{,}0\cdot10^{-2}}\ \approx0{,}2\ \text{В}.\]

Ответ: \(U_{\max}\approx0{,}2\) В.

Второй способ проверки: \(U_{\max}=I_{\max}\omega L\), где \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{6{,}28}{5\cdot10^{-6}}\approx1{,}26\cdot10^{6}\) рад/с. Тогда \(U_{\max}=4\cdot10^{-6}\cdot1{,}26\cdot10^{6}\cdot0{,}04\approx0{,}2\) В.

Задача 2

Дано (из таблицы):

\(t\), мкс	0	2	4	6	8	10	12	14	16
\(q\), нКл	4	2,8	0	−2,8	−4	−2,8	0	2,8	4

а) Амплитуда колебаний заряда

Заряд принимает значения от \(-4\) нКл до \(+4\) нКл, значит максимальное отклонение от нуля — 4 нКл.

Ответ: \(q_{\max}=4\) нКл \(=4\cdot10^{-9}\) Кл.

б) Период колебаний

Заряд повторяет своё значение через период. В момент \(t=0\) имеем \(q=4\) нКл (максимум), в следующий раз \(q=4\) нКл при \(t=16\) мкс, причём между ними заряд прошёл все промежуточные значения, включая \(-4\) нКл при \(t=8\) мкс.

\[T=16\ \text{мкс}-0=16\ \text{мкс}=16\cdot10^{-6}\ \text{с}.\]

Проверка законом косинуса: если \(T=16\) мкс, то \[q=q_{\max}\cos\frac{2\pi}{T}t=4\cos\frac{\pi t}{8}\ \text{нКл}\] (\(t\) в микросекундах). При \(t=2\): \(4\cos\frac{\pi}{4}=4\cdot0{,}707\approx2{,}8\) нКл; при \(t=4\): \(4\cos\frac{\pi}{2}=0\); при \(t=6\): \(4\cos\frac{3\pi}{4}\approx-2{,}8\) нКл. Всё сходится с таблицей.

Ответ: \(T=16\) мкс.

в) Амплитуда силы тока

Угловая частота:

\[\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{16\cdot10^{-6}}=\frac{6{,}28}{1{,}6\cdot10^{-5}}\approx3{,}93\cdot10^{5}\ \text{рад/с}.\]

\[I_{\max}=\omega q_{\max}=3{,}93\cdot10^{5}\cdot4\cdot10^{-9}\approx1{,}57\cdot10^{-3}\ \text{А}.\]

Ответ: \(I_{\max}\approx1{,}6\cdot10^{-3}\) А \(=1{,}6\) мА.

Смысл проверки: амплитуда тока получается не из таблицы напрямую, а как «скорость» изменения заряда — поэтому она равна \(q_{\max}\omega\), и при малом периоде (быстрых колебаниях) ток больше.