Написать подробное решение к каждой задаче

Краткие ответы

Задача	а)	б)	в)
В3-1	\(\nu=5\) МГц	\(\omega\approx 3{,}1\cdot10^{7}\) рад/с	\(C\approx 84\) пФ
В3-2	\(T\approx 35{,}5\) мкс	\(W_{L}\approx 4\cdot10^{-8}\) Дж	\(U_{\max}\approx 1{,}4\) В
В4-1	\(\nu=500\) кГц	\(L\approx 20\) мкГн	\(W_{L}\approx 10^{-12}\) Дж
В4-2	\(T=100\) мкс	\(L\approx 4{,}2\) мкГн	\(I_{\max}\approx 0{,}38\) А

Главная идея

В идеальном колебательном контуре энергия без потерь переходит из конденсатора в катушку и обратно. Поэтому максимальная энергия электрического поля равна максимальной энергии магнитного поля.

Нужны всего несколько формул:

\[ T=2\pi\sqrt{LC},\qquad \nu=\frac{1}{T},\qquad \omega=2\pi\nu=\frac{2\pi}{T} \]

\[ W_{C}=\frac{CU^{2}}{2}=\frac{q^{2}}{2C},\qquad W_{L}=\frac{LI^{2}}{2},\qquad W_{C,\max}=W_{L,\max} \]

Ещё пригодится связь амплитуд: \(I_{\max}=\omega q_{\max}\).

---

Вариант 3, задача 1

Дано: \(T=0{,}2\) мкс \(=2\cdot10^{-7}\) с, \(L=12\) мкГн \(=12\cdot10^{-6}\) Гн.

а) Частота

\[ \nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\cdot10^{-7}}=5\cdot10^{6}\ \text{Гц}=5\ \text{МГц} \]

б) Циклическая частота

\[ \omega=2\pi\nu\approx 6{,}28\cdot5\cdot10^{6}\approx 3{,}1\cdot10^{7}\ \text{рад/с} \]

в) Электроёмкость

Из формулы Томсона:

\[ T^{2}=4\pi^{2}LC\quad\Rightarrow\quad C=\frac{T^{2}}{4\pi^{2}L} \]

\[ C=\frac{(2\cdot10^{-7})^{2}}{4\cdot9{,}87\cdot12\cdot10^{-6}} =\frac{4\cdot10^{-14}}{4{,}74\cdot10^{-4}} \approx 8{,}4\cdot10^{-11}\ \text{Ф}=84\ \text{пФ} \]

---

Вариант 3, задача 2

Дано: \(L=0{,}8\) мГн \(=8\cdot10^{-4}\) Гн, \(C=40\) нФ \(=4\cdot10^{-8}\) Ф, \(I_{\max}=10\) мА \(=10^{-2}\) А.

а) Период

\[ T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{8\cdot10^{-4}\cdot4\cdot10^{-8}} \]

\[ T=2\pi\sqrt{3{,}2\cdot10^{-11}}\approx 2\pi\cdot5{,}66\cdot10^{-6} \approx 3{,}55\cdot10^{-5}\ \text{с}=35{,}5\ \text{мкс} \]

б) Максимальная энергия магнитного поля

Она достигается при максимальном токе:

\[ W_{L}=\frac{LI_{\max}^{2}}{2} =\frac{8\cdot10^{-4}\cdot(10^{-2})^{2}}{2} =4\cdot10^{-8}\ \text{Дж} \]

в) Максимальное напряжение

Вся энергия магнитного поля переходит в энергию конденсатора:

\[ \frac{CU_{\max}^{2}}{2}=W_{L} \]

\[ U_{\max}=\sqrt{\frac{2W_{L}}{C}} =\sqrt{\frac{2\cdot4\cdot10^{-8}}{4\cdot10^{-8}}} =\sqrt{2}\approx 1{,}4\ \text{В} \]

---

Вариант 4, задача 1

Дано: \(U_{\max}=20\) мВ \(=2\cdot10^{-2}\) В, \(T=2\) мкс \(=2\cdot10^{-6}\) с, \(C=5\) нФ \(=5\cdot10^{-9}\) Ф.

а) Частота

\[ \nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\cdot10^{-6}}=5\cdot10^{5}\ \text{Гц}=500\ \text{кГц} \]

б) Индуктивность

\[ T^{2}=4\pi^{2}LC\quad\Rightarrow\quad L=\frac{T^{2}}{4\pi^{2}C} \]

\[ L=\frac{4\cdot10^{-12}}{4\cdot9{,}87\cdot5\cdot10^{-9}} \approx 2{,}0\cdot10^{-5}\ \text{Гн}=20\ \text{мкГн} \]

в) Максимальная энергия магнитного поля

Она равна максимальной энергии электрического поля:

\[ W_{L}=W_{C,\max}=\frac{CU_{\max}^{2}}{2} \]

\[ W_{L}=\frac{5\cdot10^{-9}\cdot(2\cdot10^{-2})^{2}}{2} =10^{-12}\ \text{Дж} \]

---

Вариант 4, задача 2

Дано: \(q_{\max}=6\) мкКл \(=6\cdot10^{-6}\) Кл, \(\nu=10\) кГц \(=10^{4}\) Гц, \(C=60\) мкФ \(=6\cdot10^{-5}\) Ф.

а) Период

\[ T=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{10^{4}}=10^{-4}\ \text{с}=100\ \text{мкс} \]

б) Индуктивность

\[ L=\frac{T^{2}}{4\pi^{2}C} =\frac{(10^{-4})^{2}}{4\cdot9{,}87\cdot6\cdot10^{-5}} \approx 4{,}2\cdot10^{-6}\ \text{Гн}=4{,}2\ \text{мкГн} \]

в) Максимальная сила тока

Заряд меняется по закону \(q=q_{\max}\cos\omega t\), а сила тока — это производная заряда, поэтому её амплитуда:

\[ I_{\max}=\omega q_{\max}=2\pi\nu q_{\max} \]

\[ I_{\max}=2\pi\cdot10^{4}\cdot6\cdot10^{-6}\approx 0{,}38\ \text{А} \]

---

Проверка

• В3-1. Подстановка \(C=8{,}4\cdot10^{-11}\) Ф в \(T=2\pi\sqrt{LC}\) даёт \(T\approx2\cdot10^{-7}\) с — сходится.
• В3-2. Энергия конденсатора при \(U_{\max}=\sqrt{2}\) В: \(\frac{CU^{2}}{2}=4\cdot10^{-8}\) Дж — совпадает с \(W_{L}\).
• В4-1. При найденной \(L\) и амплитуде тока \(I_{\max}=\omega CU_{\max}\) энергия \(\frac{LI^{2}}{2}\) тоже равна \(10^{-12}\) Дж.
• В4-2. \(U_{\max}=\frac{q_{\max}}{C}=0{,}1\) В, тогда \(W=\frac{q_{\max}^{2}}{2C}=3\cdot10^{-7}\) Дж; подстановка \(L\) и \(I_{\max}\) в \(\frac{LI^{2}}{2}\) даёт ту же величину.