111*. (x + 3)(x - 5) + (x + 3)(x - 3) = 0.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
111*. \((x + 3)(x - 5) + (x + 3)(x - 3) = 0.\) 112*. \((x - 8)(2x - 6) - (x - 8)(x + 1) = 0.\) 113*. \((x + 4)^{2}(x - 5) + (x + 4)(x - 5)^{2} = 0.\) 114*. \((x - 7)^{2}(x + 6) - (x - 7)(x + 6)^{2} = 0.\)
На фото четыре однотипных уравнения — решу все.
Краткие ответы:
- \(111^*:\ x=-3;\ 4\)
- \(112^*:\ x=7;\ 8\)
- \(113^*:\ x=-4;\ \frac{1}{2};\ 5\)
- \(114^*:\ x=-6;\ 7\)
Как решать. Главный приём — вынести общий множитель и использовать правило: если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю.
111.
\[
(x+3)(x-5)+(x+3)(x-3)=(x+3)\bigl((x-5)+(x-3)\bigr)=(x+3)(2x-8)
\]
\[
2(x+3)(x-4)=0
\]
Значит, \(x+3=0\) или \(x-4=0\):
\[
x=-3,\quad x=4.
\]
112.
\[
(x-8)(2x-6)-(x-8)(x+1)=(x-8)\bigl((2x-6)-(x+1)\bigr)
\]
\[
=(x-8)(x-7)=0
\]
Отсюда:
\[
x=8,\quad x=7.
Продолжу тем же простым приёмом: ищем одинаковые скобки, выносим их и получаем произведение, равное нулю.
**113.**
\[
(x+4)^2(x-5)+(x+4)(x-5)^2=0
\]
Общие скобки — \((x+4)\) и \((x-5)\). Вынесем \((x+4)(x-5)\): \[ (x+4)(x-5)\bigl((x+4)+(x-5)\bigr)=0 \]
Считаем вторую скобку: \[ (x+4)+(x-5)=2x-1 \]
Уравнение стало таким: \[ (x+4)(x-5)(2x-1)=0 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы одна скобка равна нулю: \[ x+4=0 \Rightarrow x=-4 \] \[ x-5=0 \Rightarrow x=5 \] \[ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12 \]
114.
\[
(x-7)^2(x+6)-(x-7)(x+6)^2=0
\]
Общий множитель — \((x-7)(x+6)\): \[ (x-7)(x+6)\bigl((x-7)-(x+6)\bigr)=0 \]
Внутри скобок: \[ x-7-x-6=-13 \] Получаем: \[ -13(x-7)(x+6)=0 \]
Множитель \(-13\) нулю не равен, поэтому: \[ x-7=0 \Rightarrow x=7 \] \[ x+6=0 \Rightarrow x=-6 \]
Проверка. В 113 при \(x=-4\) обнуляется \((x+4)\), при \(x=5\) — \((x-5)\), при \(x=\frac12\) — \((2x-1)\). В 114 при \(x=7\) обнуляется \((x-7)\), при \(x=-6\) — \((x+6)\). Значит, всё произведение действительно равно нулю.
Итог по всем четырём:
- 111: \(x=-3;\ 4\)
- 112: \(x=7;\ 8\)
- 113: \(x=-4;\ \frac12;\ 5\)
- 114: \(x=-6;\ 7\)
Обсуждение
3 сообщенияРеши эти примеры объясняя легко
Объясни нормально
Понял, давай проще — по шагам.
Главная идея всех четырёх примеров одна: не раскрываем все скобки, а ищем одинаковую скобку и выносим её.
Напоминание:
\[ ab+ac=a(b+c) \]
И ещё одно правило:
\[ A\cdot B=0 \quad\Rightarrow\quad A=0 \text{ или } B=0 \]
То есть если произведение равно нулю, то хотя бы одна скобка должна быть равна нулю.
111
\[ (x+3)(x-5)+(x+3)(x-3)=0 \]
Общая скобка здесь — \((x+3)\). Выносим её:
\[ (x+3)\bigl((x-5)+(x-3)\bigr)=0 \]
Считаем внутри:
\[ x-5+x-3=2x-8 \]
Получаем:
\[ (x+3)(2x-8)=0 \]
Теперь каждая скобка может дать ноль:
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3 \]
\[ 2x-8=0 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4 \]
Ответ: \(x=-3;\ 4\).
112
\[ (x-8)(2x-6)-(x-8)(x+1)=0 \]
Общая скобка — \((x-8)\). Выносим:
\[ (x-8)\bigl((2x-6)-(x+1)\bigr)=0 \]
Раскрываем внутренние скобки:
\[ (2x-6)-(x+1)=2x-6-x-1=x-7 \]
Получаем:
\[ (x-8)(x-7)=0 \]
Значит:
\[ x-8=0 \Rightarrow x=8 \]
\[ x-7=0 \Rightarrow x=7 \]
Ответ: \(x=7;\ 8\).
113
\[ (x+4)^2(x-5)+(x+4)(x-5)^2=0 \]
Здесь легко запутаться, но идея та же.
\((x+4)^2\) — это \((x+4)(x+4)\). А \((x-5)^2\) — это \((x-5)(x-5)\).
Поэтому общий множитель:
\[ (x+4)(x-5) \]
Выносим его:
\[ (x+4)(x-5)\bigl((x+4)+(x-5)\bigr)=0 \]
Считаем вторую скобку:
\[ (x+4)+(x-5)=x+4+x-5=2x-1 \]
Получаем:
\[ (x+4)(x-5)(2x-1)=0 \]
Теперь каждую скобку приравниваем к нулю:
\[ x+4=0 \Rightarrow x=-4 \]
\[ x-5=0 \Rightarrow x=5 \]
\[ 2x-1=0 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \]
Ответ: \(x=-4;\ \frac{1}{2};\ 5\).
114
\[ (x-7)^2(x+6)-(x-7)(x+6)^2=0 \]
Общий множитель:
\[ (x-7)(x+6) \]
Выносим:
\[ (x-7)(x+6)\bigl((x-7)-(x+6)\bigr)=0 \]
Считаем внутреннюю скобку:
\[ (x-7)-(x+6)=x-7-x-6=-13 \]
Получаем:
\[ (x-7)(x+6)\cdot(-13)=0 \]
Число \(-13\) нулю не равно, поэтому оно ни на что не влияет. Остаётся:
\[ (x-7)(x+6)=0 \]
Значит:
\[ x-7=0 \Rightarrow x=7 \]
\[ x+6=0 \Rightarrow x=-6 \]
Ответ: \(x=-6;\ 7\).
Итог:
| Пример | Ответ |
|---|---|
| 111 | \(x=-3;\ 4\) |
| 112 | \(x=7;\ 8\) |
| 113 | \(x=-4;\ \frac{1}{2};\ 5\) |
| 114 | \(x=-6;\ 7\) |
Самое главное: ищи одинаковую скобку, выноси её, а потом приравнивай каждую скобку к нулю.
