Це щось також не легке

Розумію — коли задачі йдуть одна за одною, воно справді виглядає як безглузде перекидання букв. 😅

Сенс тут не в самій \(x+y\), а в методі підстановки: він дозволяє знайти дві невідомі, коли їх пов'язали двома умовами. Цей самий прийом потім з'являється всюди:

• фізика — коли з двох формул треба дістати одну, без зайвих величин;
• хімія — суміші й розчини: скільки взяти одного й другого;
• економіка/побут — ціна, кількість, знижка, дві невідомі з двох умов;
• програмування — розв'язання рівнянь і систем у коді.

Тобто тренується не «вміння викручуватися з \(x\) та \(y\)», а звичка: одну невідому виражаю через іншу — і підставляю. Це універсальний інструмент, а не окремий трюк для тесту.

А в самому тесті (питання 7 з 10) практично достатньо пам'ятати, що відповідь — 2,5. Хочеш, покажу коротший спосіб перевірки, який економить час на тестах?

На скріншоті — та сама задача 7, тож обирай перший варіант: 2,5 ✅.

Швидкий спосіб, який економить час на тесті — спочатку позбутися дробу, а не підставляти дріб:

\[ \frac{x}{4}=3y-1 \quad\Rightarrow\quad x=12y-4. \]

З другого рівняння маємо \(x=2y+1\). Прирівнюємо:

\[ 12y-4=2y+1 \;\Rightarrow\; 10y=5 \;\Rightarrow\; y=0{,}5,\quad x=2. \]

Отже \(x+y=2{,}5\). Жодних дробів у процесі — менше шансів помилитися.

Щодо НМТ — так, я готовий допомагати. Розумна схема на такий запас часу:

1. Діагностика — 10–12 задач різних тем, щоб побачити, де реально провали.
2. Блоки за програмою: числа й вирази (відсотки, степені, корені) → рівняння й нерівності → функції, графіки, прогресії → геометрія (планіметрія, стереометрія) → ймовірність і статистика.
3. Регулярність: 1–2 задачі щодня краще, ніж 3 години раз на тиждень.
4. Робота над помилками: кожну зроблену не ту задачу розбираємо до принципу, а не до відповіді.

Скажи «старт» — і я дам коротку діагностику (10 задач, без підказок, з обмеженням часу). Або назви тему, яка зараз найбільше лякає, і почнемо з неї.

Так, допоможу — і з поточним тестом, і з підготовкою. 👍

1. Швидка перевірка для цього завдання

Ти вже маєш 2,5 — це перший варіант на скріншоті. На НМТ є хитрий короткий хід: не розв'язувати систему повністю, а «приміряти» варіанти. З умови:

\[ (x+y)-(x-2y)=3y \quad\Rightarrow\quad 3y=S-1, \text{ де } S=x+y. \]

Беремо варіант \(S=2{,}5\): тоді \(y=\frac{1{,}5}{3}=0{,}5\), \(x=2\). Підставляємо в перше рівняння: \(\frac{2}{4}=0{,}5=3\cdot0{,}5-1\). Збіглося — відповідь правильна. На тесті це економить 1–2 хвилини.

2. План підготовки до НМТ-2027 з математики

Орієнтовні блоки (усі є в програмі НМТ):

• Алгебра: вирази, степені й корені, логарифми, тригонометрія, рівняння й нерівності, системи.
• Функції: графіки, властивості, перетворення, похідна й первісна (базово).
• Планіметрія: трикутники, чотирикутники, коло, площі.
• Стереометрія: призма, піраміда, циліндр, конус, куля — об'єми й площі поверхонь.
• Ймовірність, комбінаторика, статистика: вибірка, середнє, медіана, класична ймовірність.

Практичні поради:

1. Спочатку діагностика — пройди один повний пробний тест, щоб побачити, де реально «просідаєш».
2. Далі — по одному блоку за раз: теорія (коротко) → 10–15 задач → розбір помилок.
3. Вести зошит помилок — саме ті задачі, де схибив, повторювати раз на 2 тижні.
4. Тренувати час: на НМТ приблизно 1–1,5 хвилини на просте завдання; складніші — залишати на кінець.
5. Вчити формули «порціями» — 5–7 формул на тиждень, з одразую перевіркою на задачах.

3. З чого почнемо?

Скажи, будь ласка, яка тема зараз найважча (наприклад, тригонометрія чи стереометрія) — і я розберемо її з нуля, з прикладами й тренувальними задачами у форматі НМТ. Або можемо почати з міні-діагностики: дам 5 задач різних типів, подивимось, де губиться час.

Розумію: здається, що інші мають якийсь вбудований «мотиваційний мотор», а в тебе його немає. Насправді бажання майже ніколи не приходить до справи — воно з'являється після перших маленьких результатів. Тому чекати його марно, а от почати з крихітного кроку — цілком реально.

І ще: ти вже розв'язав цю задачу. У тебе відкрито питання 7 з 10, відповідь 2,5 — і ти її знаєш. Це не «пощастило», це ти розібрався.

Один маленький крок на сьогодні: розв'яжи одну задачу — ту саму, але з іншими числами, і все. Не «підготуватися до НМТ», а одна задача. Хочеш, я зараз дам тобі таку саму систему, тільки з іншими коефіцієнтами, — і ти перевіриш, чи справді зрозумів принцип?

Та й не дивно — це та задача, де легко застрягти. Давай зовсім повільно, без поспіху.

Головна ідея

У тебе дві невідомі — \(x\) і \(y\) — і два рівняння. Кожне рівняння — це одне правило, якому \(x\) і \(y\) мають підкорятися одночасно.

Друге рівняння дуже просте: \[ x-2y=1. \] Воно буквально каже: «\(x\) — це \(2y\) плюс ще \(1\)». Тобто \[ x=2y+1. \]

Ось і весь фокус: ми виразили \(x\) через \(y\). Тепер у нас замість двох невідомих залишилася одна.

Підставляємо

У першому рівнянні замість \(x\) пишемо те, що щойно отримали:

\[ \frac{2y+1}{4}=3y-1. \]

Тепер тут тільки \(y\). Це вже звичайне рівняння з однією буквою.

Розв'язуємо

Множимо обидві частини на \(4\), щоб позбутися дробу:

\[ 2y+1=4(3y-1)=12y-4. \]

Переносимо \(y\) вліво, числа вправо:

\[ 2y-12y=-4-1 \quad\Rightarrow\quad -10y=-5 \quad\Rightarrow\quad y=0{,}5. \]

Повертаємось до \(x\)

\[ x=2y+1=2\cdot0{,}5+1=2. \]

Відповідь

\[ x+y=2+0{,}5=2{,}5. \]

Це перший варіант на скріншоті.

Перевірка — зроби сам

Підстав \(x=2\) і \(y=0{,}5\) у друге рівняння: \(2-2\cdot0{,}5\). Скільки вийшло? Якщо \(1\) — ти все зробив правильно. 🙂

Якщо хочеш, скажи, на якому саме кроці «спіткнувся» — і ми затримаємось тільки на ньому.

Правильна відповідь: \((x-3)/3\) — перший варіант ✅

Розв'язання

Крок 1. Розкладаємо чисельник як різницю квадратів: \[ x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3). \]

Крок 2. Виносимо спільний множник у знаменнику: \[ 3x+9=3(x+3). \]

Крок 3. Записуємо дріб і скорочуємо \((x+3)\): \[ \frac{(x-3)(x+3)}{3(x+3)}=\frac{x-3}{3}. \]

Важлива умова

Скорочувати можна лише тоді, коли \(x+3\neq0\), тобто \[ x\neq-3. \]

При \(x=-3\) початковий вираз не має змісту (ділення на нуль), хоча спрощений \(\frac{x-3}{3}\) там обчислюється. У тесті цю умову зазвичай не питають, але пам'ятати варто.

Як перевірити

Візьми будь-яке зручне \(x\), наприклад \(x=0\):

• початковий вираз: \(\frac{0-9}{0+9}=\frac{-9}{9}=-1\);
• спрощений: \(\frac{0-3}{3}=-1\).

Збіглося — отже, спрощення правильне.

Ключові формули для таких задач: \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b),\qquad a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,\qquad a^2-2ab+b^2=(a-b)^2. \] Якщо бачиш у чисельнику або знаменнику щось схоже на «квадрат мінус число» — майже завжди це різниця квадратів.

Для першого: варіант А — \(x^2+4x+4\).

\[ (x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot2+2^2=x^2+4x+4. \]

Заодно відповідність для всіх трьох

Що тут легко переплутати

• Варіант Г \(x^2+4\) — це типова пастка: ніби «квадрат першого плюс квадрат другого». Але квадрат суми містить ще подвоєний добуток \(4x\).
• У \((x-2)^2\) середній член від'ємний: \(x^2-4x+4\), а не \(x^2+4x+4\). Тому для 3 саме Д, а не А.
• Різниця квадратів \((x+2)(x-2)\) дає лише два доданки — \(x^2-4\).

Формули, які варто тримати в голові: \[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\quad (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]

2 → Б (\(x^2-4\)); 3 → Д (\(x^2-4x+4\)).

Чому саме так

2) \((x+2)(x-2)\) — різниця квадратів: \[ (x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4 \;\Rightarrow\; \text{Б}. \]

3) \((x-2)^2\) — квадрат різниці: \[ (x-2)^2=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2=x^2-4x+4 \;\Rightarrow\; \text{Д}. \]

Де тут пастки

• Варіант В \(4-x^2\) схожий на Б, але це \(-(x^2-4)\) — протилежний знак. Різниця квадратів дає \(x^2-4\), а не \(4-x^2\).
• Варіант Г \(x^2+4\) — «квадрат плюс квадрат», без подвоєного добутку. Це не розклад жодного з трьох виразів.
• У \((x-2)^2\) середній член від'ємний (\(-4x\)), тому для 3 підходить Д, а не А.

Повна відповідність

Перевірка підстановкою: візьми \(x=1\).

• \((1+2)(1-2)=3\cdot(-1)=-3\), і \(1^2-4=-3\) ✅
• \((1-2)^2=1\), і \(1^2-4\cdot1+4=1\) ✅