может ли судью / военного прокурора обыскивать пограничный служб ФСБ и задерживать его

Коротко: не в общем порядке. Пограничная служба ФСБ может проверить документы, провести пограничный и таможенный контроль, а в экстренной ситуации — кратко остановить человека. Но обыск и процессуальное задержание судьи или военного прокурора требуют особой процедуры.

1. Судья.
Судья неприкосновенен по ст. 122 Конституции РФ и ст. 16 Закона «О статусе судей в РФ». Поэтому:

• личный досмотр судьи не допускается, кроме случаев, когда это нужно для безопасности самого судьи;
• судья, задержанный по подозрению в преступлении, подлежит немедленному освобождению;
• обыск, досмотр жилища, служебного помещения, транспорта, личный досмотр — только в особом порядке, как правило с судебным решением и с участием соответствующей квалификационной коллегии судей;
• уголовное преследование судьи идёт по особой процедуре.

2. Военный прокурор.
Это не судья, но у прокурора тоже есть специальные гарантии по ст. 42 Закона «О прокуратуре РФ». Не допускаются обычные задержание, привод, административное задержание, личный досмотр, досмотр вещей, багажа и транспорта, осмотр жилья и служебного помещения, изъятие документов — кроме прямо предусмотренных законом экстренных случаев, например когда нужно обеспечить безопасность людей или задержать лицо на месте преступления. О таком случае должны немедленно уведомить прокуратуру, а проверку/расследование ведут уполномоченные органы, а не пограничники.

3. Что пограничники всё-таки могут.
Пограничный контроль — это не обыск. Проверить паспорт, документы на въезд, провести таможенный контроль, остановить для проверки — могут. Но если речь именно об обыске или задержании как мере принуждения, действуют особые правила.

Проверка: если судья или военный прокурор просто проходит границу — законный пограничный контроль возможен. Если его хотят именно обыскать или задержать «как обычного гражданина» — это уже требует оснований и особой процедуры; иначе действия незаконны. Исключение — краткое задержание при непосредственной опасности или на месте преступления, но с немедленным уведомлением суда/прокуратуры.