Знайдіть глибину криниці, якщо за те, щоб її викопали, заплатили 2380 грн за умови, що за кожний наступний викопаний метр глибини платили на 20 грн більше, ніж за попередній, а за…

Відповідь: глибина криниці — 14 метрів.

Нехай \(n\) — глибина криниці в метрах. Оплата за 1-й, 2-й, …, \(n\)-й метр утворює арифметичну прогресію з різницею

\[ d=20 \text{ грн}. \]

За останній метр заплатили \(a_n=300\) грн, а вся сума

\[ S_n=2380 \text{ грн}. \]

За формулою \(n\)-го члена прогресії:

\[ a_n=a_1+(n-1)d, \]

тому

\[ 300=a_1+20(n-1), \]

\[ a_1=300-20(n-1)=320-20n. \]

Сума перших \(n\) членів:

\[ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n. \]

Підставляємо:

\[ 2380=\frac{(320-20n)+300}{2}\cdot n, \]

\[ 2380=\frac{620-20n}{2}\cdot n, \]

\[ 2380=10n(31-n). \]

Отже:

\[ n(31-n)=238, \]

\[ n^2-31n+238=0. \]

Дискримінант:

\[ D=31^2-4\cdot238=961-952=9. \]

Тоді:

\[ n=\frac{31\pm3}{2}. \]

Дістаємо:

\[ n=17 \quad \text{або} \quad n=14. \]

Перевіримо варіант \(n=17\):

\[ a_1=320-20\cdot17=-20. \]

Це означає, що за перший метр нібито мали б заплатити \(-20\) грн, що неможливо. Тому цей варіант відкидаємо.

Залишається:

\[ n=14. \]

Перевірка: оплата за метри:

\[ 40,\ 60,\ 80,\ 100,\ 120,\ 140,\ 160,\ 180,\ 200,\ 220,\ 240,\ 260,\ 280,\ 300. \]

Їхня сума:

\[ \frac{40+300}{2}\cdot14=170\cdot14=2380. \]

Усе сходиться.

Отже, глибина криниці — 14 м.