7.1,7.2,7.15

Краткий ответ

7.1. Диагональ осевого сечения: \(\sqrt{13}\) см; площадь полной поверхности: \(8\pi\) см².

7.2. Площадь осевого сечения: \(128\) см²; площадь полной поверхности: \(256\pi\) см².

7.15. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения: \(8\) см.

Как это получается

При вращении прямоугольника вокруг стороны получается цилиндр: сторона, вокруг которой вращают, — его высота \(h\), а соседняя сторона — радиус \(r\).

7.1

Вращают вокруг большей стороны, значит:

\[ h=3,\qquad r=1. \]

Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \(2r=2\) и \(h=3\). Его диагональ находим по теореме Пифагора:

\[ d=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\ \text{см}. \]

Полная поверхность цилиндра:

\[ S=2\pi r^2+2\pi rh =2\pi\cdot1^2+2\pi\cdot1\cdot3 =8\pi\ \text{см}^2. \]

7.2

Квадрат со стороной \(8\) см вращают вокруг стороны, поэтому:

\[ r=8,\qquad h=8. \]

Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \(2r=16\) и \(h=8\):

\[ S_{\text{сеч}}=16\cdot8=128\ \text{см}^2. \]

Полная поверхность:

\[ S=2\pi r^2+2\pi rh =2\pi\cdot8^2+2\pi\cdot8\cdot8 =256\pi\ \text{см}^2. \]

7.15

Сечение, параллельное оси цилиндра, — прямоугольник. Одна его сторона равна высоте цилиндра:

\[ h=12\ \text{см}. \]

Другая сторона — хорда окружности основания. Так как сечение является квадратом, эта хорда тоже равна \(12\) см.

Расстояние от оси до плоскости сечения равно расстоянию от центра основания до этой хорды. Половина хорды равна \(6\) см, радиус основания \(10\) см. Получаем прямоугольный треугольник:

\[ d^2+6^2=10^2, \]

\[ d=\sqrt{100-36}=8\ \text{см}. \]

Проверка: \(6^2+8^2=10^2\), то есть \(36+64=100\). Всё сходится.