237. При каких значениях a: а) сумма дробей (a+1)/(a-2) и (a-4)/(a+1) равна дроби (3a+3)/(a²-a-2)

На фото сверху — № 237; решаю его.

Краткий ответ: а) \(a=1{,}5\); б) \(a=-0{,}5\).

Идея решения

1. Раскладываем знаменатели на множители и записываем ОДЗ (какие \(a\) запрещены).
2. Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель — получается обычное (квадратное) уравнение.
3. Корни сравниваем с ОДЗ: если корень запрещён, он посторонний, его отбрасываем.

а)

\[ \frac{a+1}{a-2}+\frac{a-4}{a+1}=\frac{3a+3}{a^2-a-2} \] Так как \(a^2-a-2=(a-2)(a+1)\), то ОДЗ: \(a\ne 2,\ a\ne -1\).

Умножаем на \((a-2)(a+1)\): \[ (a+1)^2+(a-4)(a-2)=3a+3 \] \[ 2a^2-4a+9=3a+3 \quad\Rightarrow\quad 2a^2-7a+6=0 \] \[ D=49-48=1,\qquad a=\frac{7\pm 1}{4} \] Получаем \(a=2\) и \(a=1{,}5\). Значение \(a=2\) обращает знаменатель в нуль — посторонний корень.

Ответ: \(a=1{,}5\).

б)

\[ \frac{3a-5}{a^2-1}-\frac{6a-5}{a-a^2}=\frac{3a+2}{a^2+a} \] Здесь \(a^2-1=(a-1)(a+1)\), \(a-a^2=-a(a-1)\), \(a^2+a=a(a+1)\), поэтому ОДЗ: \(a\ne 0,\ a\ne \pm 1\).

Знак у второй дроби меняется: \[ \frac{3a-5}{(a-1)(a+1)}+\frac{6a-5}{a(a-1)}=\frac{3a+2}{a(a+1)} \]

Умножаем на \(a(a-1)(a+1)\): \[ a(3a-5)+(6a-5)(a+1)=(3a+2)(a-1) \] \[ 9a^2-4a-5=3a^2-a-2 \] \[ 6a^2-3a-3=0 \quad\Rightarrow\quad 2a^2-a-1=0 \] \[ (2a+1)(a-1)=0 \] Корни \(a=-\tfrac12\) и \(a=1\). Второй запрещён ОДЗ.

Ответ: \(a=-0{,}5\).

Проверка

При \(a=1{,}5\): левая часть равна \(-5+(-1)=-6\), правая — \(\dfrac{7{,}5}{-1{,}25}=-6\). Совпало.

При \(a=-0{,}5\): разность \(\dfrac{26}{3}-\dfrac{32}{3}=-2\), правая часть \(\dfrac{0{,}5}{-0{,}25}=-2\). Совпало.

Я проверил оба корня — посторонние отброшены именно по ОДЗ, а не «на глаз».

На странице есть ещё № 238–241 (уравнения, точки пересечения графиков, «при каких \(a\) равны значения выражений»). Скажи номер — разберу так же подробно.