Вариант 1.

На фото два варианта. Ниже решения обоих — выбери свой.

Вариант 1

№1. Область определения

1. \(y=\sqrt{x+x^2}\). Подкоренное выражение неотрицательно: \[ x+x^2\ge 0 \quad\Leftrightarrow\quad x(x+1)\ge 0. \] \[ D(y)=(-\infty,-1]\cup[0,+\infty). \]

2. \(y=\dfrac{x-11}{x-7}\). Знаменатель не равен нулю: \[ x\ne 7,\qquad D(y)=(-\infty,7)\cup(7,+\infty). \] Если в знаменателе стоит \((x-7)^2\), ответ такой же: \(x\ne7\).

№2. Чётность и нечётность

1. \(y=10x^5+5x\): \[ y(-x)=10(-x)^5+5(-x)=-(10x^5+5x)=-y(x), \] значит функция нечётная.

2. \(y=18x^8+6x^2+12\): \[ y(-x)=18x^8+6x^2+12=y(x), \] функция чётная.

3. \(y=9x^{18}+\dfrac{23}{x^2}\), область определения \(x\ne0\): \[ y(-x)=9x^{18}+\frac{23}{x^2}=y(x), \] функция чётная.

№3. График \(y=-(x+6)^2+1\)

Строим из графика \(y=x^2\):

1. \(y=x^2\);
2. сдвиг влево на 6: \(y=(x+6)^2\);
3. отражение относительно оси \(Ox\): \(y=-(x+6)^2\);
4. сдвиг вверх на 1: \(y=-(x+6)^2+1\).

Это парабола с вершиной \((-6;1)\), ветви направлены вниз.
Нули функции: \[ -(x+6)^2+1=0 \Rightarrow (x+6)^2=1 \Rightarrow x=-7,\ -5. \] Дополнительные точки: \((-8;-3)\), \((-4;-3)\). Точка пересечения с \(Oy\): \((0;-35)\).

№4. Нули и промежутки знакопостоянства

\[ y=\frac{x^2-9x}{x+9}=\frac{x(x-9)}{x+9},\qquad x\ne-9. \]

Нули функции: \[ x(x-9)=0 \Rightarrow x=0,\ x=9. \]

Промежутки знакопостоянства:

\[ y<0 \text{ при } x\in(-\infty,-9)\cup(0,9), \] \[ y>0 \text{ при } x\in(-9,0)\cup(9,+\infty). \]

В точке \(x=-9\) функция не определена.

№5. Бином Ньютона

\[ (2x-2)^5= \] \[ =32x^5-160x^4+320x^3-320x^2+160x-32. \]

Использованы коэффициенты 5-й строки треугольника Паскаля: \[ 1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1. \]

---

Вариант 2

№1. Область определения

1. \(y=\sqrt{5x+8x^2}\): \[ 5x+8x^2\ge0 \quad\Leftrightarrow\quad x(5+8x)\ge0. \] Корни: \(0\) и \(-\dfrac58\). Поэтому \[ D(y)=\left(-\infty,-\frac58\right]\cup[0,+\infty). \]

2. \(y=\dfrac{1}{(2x-5)^2}\): \[ 2x-5\ne0 \Rightarrow x\ne\frac52, \] \[ D(y)=\left(-\infty,\frac52\right)\cup\left(\frac52,+\infty\right). \]

№2. Чётность и нечётность

1. \(y=x^6+8x^4\): \[ y(-x)=x^6+8x^4=y(x), \] функция чётная.

2. \(y=-9x^7+5x^{23}+2\): \[ y(-x)=9x^7-5x^{23}+2. \] Это не совпадает ни с \(y(x)\), ни с \(-y(x)\), поэтому функция ни чётная, ни нечётная.

Если в твоём тексте степень не 23, а 3, вывод тот же: нечётные степени плюс свободный член \(2\) дают функцию общего вида.

3. \(y=\dfrac{63x}{x^8+65}\): \[ y(-x)=\frac{-63x}{x^8+65}=-y(x), \] функция нечётная. Область определения — все действительные числа.

№3. График \(y=-(x-5)^2+6\)

Преобразования графика \(y=x^2\):

1. сдвиг вправо на 5: \(y=(x-5)^2\);
2. отражение относительно \(Ox\): \(y=-(x-5)^2\);
3. сдвиг вверх на 6: \(y=-(x-5)^2+6\).

Вершина параболы: \((5;6)\), ветви вниз.
Нули функции: \[ -(x-5)^2+6=0 \Rightarrow (x-5)^2=6 \Rightarrow x=5\pm\sqrt6. \] Точка пересечения с \(Oy\): \[ y(0)=-25+6=-19. \] Дополнительные точки: \((4;5)\), \((6;5)\), \((3;2)\), \((7;2)\).

№4. Нули и промежутки знакопостоянства

\[ y=\frac{x^2-7x}{x-7}=\frac{x(x-7)}{x-7}. \] Область определения: \(x\ne7\). При \(x\ne7\): \[ y=x. \]

Нуль функции: \(x=0\).
Точка \(x=7\) не входит в область определения — там «выколотая» точка.

Промежутки знакопостоянства: \[ y<0 \text{ при } x\in(-\infty,0), \] \[ y>0 \text{ при } x\in(0,7)\cup(7,+\infty). \]

№5. Бином Ньютона

\[ (3-4x)^6= \] \[ =4096x^6-18432x^5+34560x^4-34560x^3+19440x^2-5832x+729. \]

Коэффициенты 6-й строки треугольника Паскаля: \[ 1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1. \]