211 Учебный автомобиль, в котором находились преподаватель и трое учеников, выехал в тренировочную поездку. Преподаватель проехал \(\frac{2}{15}\) всего пути и ещё 5 км, два…

Ответ: 300 км.

Пусть длина всего маршрута — \(x\) км. Запишем, кто сколько проехал:

• преподаватель: \(\frac{2}{15}x + 5\);
• два ученика: по \(\frac{1}{4}x\), вместе \(\frac{x}{2}\);
• третий ученик: \(105\).

Вместе это весь маршрут:

\[ \frac{2}{15}x + 5 + \frac{x}{2} + 105 = x \]

Шаг 1. Складываем доли пути:

\[ \frac{2}{15} + \frac{1}{2} = \frac{4}{30} + \frac{15}{30} = \frac{19}{30} \]

Значит, преподаватель и два ученика вместе «по долям» проехали \(\frac{19}{30}\) маршрута.

Шаг 2. Остальная часть маршрута — это \(1 - \frac{19}{30} = \frac{11}{30}\). На неё приходятся «лишние» 5 км преподавателя и 105 км третьего ученика, то есть \(110\) км:

\[ \frac{11}{30}x = 110 \]

Шаг 3. Находим весь маршрут:

\[ x = 110 \cdot \frac{30}{11} = 300 \text{ км} \]

Проверка: преподаватель — \(\frac{2}{15}\cdot 300 + 5 = 40 + 5 = 45\) км; каждый из двух учеников — по \(75\) км; третий — \(105\) км. Сумма: \(45 + 75 + 75 + 105 = 300\) км. Всё сходится.

Принцип для похожих задач: сначала складываем все известные доли целого, находим, какая доля осталась, и приравниваем её к известному «остатку» в километрах (не забывая учесть добавленные километры). Потом делим остаток на его долю — получаем целое.

Ответ: 300 км.

Решим без уравнения — по частям маршрута.

1. Два ученика проехали вместе:

\[ \frac14+\frac14=\frac12 \]

2. Преподаватель и два ученика вместе проехали долю:

\[ \frac{2}{15}+\frac12 =\frac{4}{30}+\frac{15}{30} =\frac{19}{30} \]

3. Значит, на оставшуюся часть маршрута приходится:

\[ 1-\frac{19}{30}=\frac{11}{30} \]

В эту оставшуюся часть входят 5 км преподавателя и 105 км третьего ученика:

\[ 5+105=110\text{ км} \]

4. То есть \(\frac{11}{30}\) маршрута — это 110 км. Тогда одна тридцатая часть маршрута:

\[ 110:11=10\text{ км} \]

А весь маршрут состоит из 30 таких частей:

\[ 10\cdot30=300\text{ км} \]

Или одной записью:

\[ 110:\frac{11}{30}=110\cdot\frac{30}{11}=300\text{ км} \]

Проверка: преподаватель проехал \(40+5=45\) км, два ученика — по \(75\) км, третий — \(105\) км. Всего \(45+75+75+105=300\) км.

Ещё проще — по частям.

1. Два ученика вместе проехали половину пути: \[ \frac14+\frac14=\frac12 \]

2. Преподаватель проехал \(\frac{2}{15}\) пути. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac12=\frac{15}{30},\qquad \frac{2}{15}=\frac{4}{30} \] Вместе это: \[ \frac{15}{30}+\frac{4}{30}=\frac{19}{30} \]

3. Значит, осталось \(\frac{11}{30}\) пути. Это те самые 5 км преподавателя и 105 км третьего ученика: \[ 5+105=110\text{ км} \]

4. То есть 11 одинаковых частей — это 110 км. Тогда одна часть: \[ 110:11=10\text{ км} \]

5. Весь путь — это 30 таких частей: \[ 10\cdot30=300\text{ км} \]

Ответ: 300 км.