реши 5 и 6 пример

Кратко

№ 5.
\[ x=\frac{2\pi k}{11}\quad \text{или}\quad x=\frac{\pi(2k+1)}{7},\qquad k\in\mathbb Z. \]

№ 6.
\[ x=\frac{2\pi k}{15}\quad \text{или}\quad x=\frac{\pi(2k+1)}{17}, \] но из этих серий нужно исключить \(x=\pi n\), потому что при \(\sin x=0\) исходное уравнение не выполняется.

В параметрах ограничения такие: \[ x=\frac{2\pi k}{15},\ k\not\equiv0\pmod{15}; \qquad x=\frac{\pi(2k+1)}{17},\ k\not\equiv8\pmod{17}. \]

---

№ 5

\[ \cos x\cos\frac{7x}{2}\sin\frac{9x}{2}=\frac14\sin7x \]

Используем формулу
\(\sin\alpha\cos\beta=\frac12(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))\):

\[ \sin\frac{9x}{2}\cos\frac{7x}{2} =\frac12(\sin8x+\sin x). \]

Тогда уравнение принимает вид:

\[ \frac12\cos x(\sin8x+\sin x)=\frac14\sin7x. \]

Умножаем на \(4\):

\[ 2\cos x(\sin8x+\sin x)=\sin7x. \]

Раскрываем:

\[ 2\cos x\sin8x+2\cos x\sin x=\sin7x. \]

Так как

\[ 2\sin8x\cos x=\sin9x+\sin7x, \qquad 2\sin x\cos x=\sin2x, \]

получаем:

\[ \sin9x+\sin7x+\sin2x=\sin7x. \]

Сокращаем \(\sin7x\):

\[ \sin9x+\sin2x=0. \]

Сворачиваем сумму синусов:

\[ 2\sin\frac{11x}{2}\cos\frac{7x}{2}=0. \]

Значит:

\[ \sin\frac{11x}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{11x}{2}=\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2\pi k}{11}, \]

или

\[ \cos\frac{7x}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{7x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi(2k+1)}{7}. \]

Это и есть ответ.

---

№ 6

\[ \cos x\cos2x\cos4x\cos8x-\frac1{16}=0 \]

То есть

\[ \cos x\cos2x\cos4x\cos8x=\frac1{16}. \]

Если \(\sin x=0\), то \(x=\pi n\), и произведение равно \(1\) или \(-1\), а не \(\frac1{16}\). Поэтому \(\sin x\ne0\).

Умножим обе части на \(16\sin x\):

\[ 16\sin x\cos x\cos2x\cos4x\cos8x=\sin x. \]

Последовательно применяем \(2\sin t\cos t=\sin2t\):

\[ 8\sin2x\cos2x\cos4x\cos8x=\sin x, \]

\[ 4\sin4x\cos4x\cos8x=\sin x, \]

\[ 2\sin8x\cos8x=\sin x, \]

\[ \sin16x=\sin x. \]

Преобразуем:

\[ \sin16x-\sin x=0, \]

\[ 2\sin\frac{15x}{2}\cos\frac{17x}{2}=0. \]

Отсюда:

1. \(\sin\frac{15x}{2}=0\):

\[ \frac{15x}{2}=\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2\pi k}{15}. \]

2. \(\cos\frac{17x}{2}=0\):

\[ \frac{17x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi(2k+1)}{17}. \]

Остаётся убрать лишние решения \(x=\pi n\). Например, \(x=0\) даёт в исходном уравнении \(1-\frac1{16}\ne0\), поэтому \(x=0\) не подходит.

Проверка принципа: в № 5 произведение сворачивается по формуле «синус на косинус», а в № 6 цепочка удвоенных углов сворачивается домножением на синус. Главное — проверить, не появились ли лишние корни после домножения.