ответы на задания 4,5

Кратко

• Задание 4: последний столбец заполняется так: Истина, Ложь, Истина, Истина.
• Задание 5: ошибка в самом результате — выражение ложно, то есть правильный ответ «ложь», а не «истина».

Задание 4. Таблица истинности для \((A \land B) \lor \lnot A\)

Правила, которые нужны:

• \(\lnot A\) («не A») — переворачивает значение: истина → ложь, ложь → истина.
• \(A \land B\) («и») — истинно только когда оба высказывания истинны.
• \(X \lor Y\) («или») — ложно только когда оба ложны, в остальных случаях истинно.

Порядок действий в выражении: сначала отрицание \(\lnot A\), отдельно конъюнкция \(A \land B\), и лишь потом дизъюнкция \(\lor\) между ними.

Разбор по строкам (то, что нужно дописать в последний столбец):

1. \(A\) и \(B\) истинны: \(A \land B\) — истина, \(\lnot A\) — ложь. Истина \(\lor\) ложь = истина.
2. \(A\) истинно, \(B\) ложно: \(A \land B\) — ложь, \(\lnot A\) — ложь. Ложь \(\lor\) ложь = ложь.
3. \(A\) ложно: \(A \land B\) — ложь, \(\lnot A\) — истина. Ложь \(\lor\) истина = истина.
4. \(A\) и \(B\) ложны: \(A \land B\) — ложь, \(\lnot A\) — истина. Ложь \(\lor\) истина = истина.

Проверка: выражение можно упростить: \[ (A \land B) \lor \lnot A = (\lnot A \lor A) \land (\lnot A \lor B) = \lnot A \lor B, \] а это импликация \(A \to B\), которая ложна ровно в одном случае — когда \(A\) истинно, а \(B\) ложно. У нас «ложь» стоит только во второй строке. Значит, таблица верна.

Задание 5. Найди и исправь ошибку

Выражение: \(\lnot(5 > 2) \lor (1 < 0)\), результат записан как «истина».

По шагам:

1. \(5 > 2\) — истина, значит отрицание \(\lnot(5 > 2)\) — ложь. Скобки важны: отрицание относится ко всему сравнению, а не только к числу 5.
2. \(1 < 0\) — ложь.
3. Дизъюнкция: ложь \(\lor\) ложь = ложь.

Исправление: результат должен быть «ложь». Ошибка именно в итоговой записи — обе части выражения ложны, поэтому «или» тоже даёт ложь.