Реши пожалуйста
Пусть \(ABCD\) — нижняя грань, \(A_1B_1C_1D_1\) — верхняя.
1. Рёбра на параллельных прямых
Это рёбра одного направления:
\[ AB\parallel CD\parallel A_1B_1\parallel C_1D_1, \]
\[ AD\parallel BC\parallel A_1D_1\parallel B_1C_1, \]
\[ AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1\parallel DD_1. \]
2. Рёбра на скрещивающихся прямых
Например, скрещиваются:
\[ AB \text{ и } B_1C_1,\qquad AD \text{ и } BB_1, \] \[ A_1B_1 \text{ и } CC_1,\qquad BC \text{ и } DD_1. \]
Если нужен полный перечень, то с каждым ребром скрещиваются такие рёбра:
- \(AB\): \(A_1D_1,\ B_1C_1,\ CC_1,\ DD_1\);
- \(BC\): \(A_1B_1,\ C_1D_1,\ AA_1,\ DD_1\);
- \(CD\): \(A_1D_1,\ B_1C_1,\ AA_1,\ BB_1\);
- \(AD\): \(A_1B_1,\ C_1D_1,\ BB_1,\ CC_1\);
- \(A_1B_1\): \(AD,\ BC,\ CC_1,\ DD_1\);
- \(B_1C_1\): \(AB,\ CD,\ AA_1,\ DD_1\);
- \(C_1D_1\): \(AD,\ BC,\ AA_1,\ BB_1\);
- \(A_1D_1\): \(AB,\ CD,\ BB_1,\ CC_1\);
- \(AA_1\): \(BC,\ B_1C_1,\ CD,\ C_1D_1\);
- \(BB_1\): \(AD,\ A_1D_1,\ CD,\ C_1D_1\);
- \(CC_1\): \(AB,\ A_1B_1,\ AD,\ A_1D_1\);
- \(DD_1\): \(AB,\ A_1B_1,\ BC,\ B_1C_1\).
Каждая пара в этом списке встречается дважды — это нормально.
3. Плоскости, в которых лежат прямые
Если речь о плоскостях граней:
- \(AC\) лежит в плоскости основания \(ABC\);
- \(D_1C_1\) лежит в плоскостях \(A_1B_1C_1\) и \(CC_1D_1\);
- \(BB_1\) лежит в плоскостях \(ABB_1\) и \(BCC_1\).
Дополнительно: прямая \(AC\) лежит ещё и в диагональной плоскости \(ACC_1A_1\). Если учитывать только грани, то у \(AC\) остаётся только плоскость \(ABC\).
4. Прямые пересечения плоскостей
\[ (ABC)\cap(B_1BC)=BC, \]
\[ (C_1D_1A_1)\cap(B_1BA)=A_1B_1. \]
5. Точки пересечения прямой и плоскости
\[ BD_1\cap(A_1B_1C_1)=D_1, \]
\[ AD\cap(CC_1D_1)=D. \]
Как рассуждать
- В прямоугольном параллелепипеде рёбра имеют только три направления. Рёбра одного направления параллельны.
- Если направления разные и есть общая вершина — прямые пересекаются. Если направления разные, но общей вершины нет, то в параллелепипеде такие рёбра скрещиваются.
- Две плоскости граней пересекаются по общему ребру.
- Если один конец прямой уже лежит в плоскости, а другой нет, то точка пересечения прямой с плоскостью — этот конец. Поэтому \(BD_1\) пересекает верхнюю плоскость в \(D_1\), а \(AD\) пересекает боковую плоскость \(CC_1D_1\) в \(D\).
