реши 20.10
Сверь числа и знаки с фото.
20.10. Решите уравнение:
- \(\sqrt{3}\cos 3x+\sin 3x-\cos x=\sqrt{3}\sin x\);
- \(2\sin 3x+\cos 5x-\sqrt{3}\sin 5x=0\);
- \(2\cos 4x=\sqrt{2}(\cos x-\sin x)\);
- \(\cos 2x=\cos 4x+2\sqrt{3}\sin x\cos 3x\).
Краткий ответ (все \(k\in\mathbb Z\)):
\[ \begin{aligned} 1)&\quad x=-\frac{\pi}{12}+\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2};\\[2pt] 2)&\quad x=\frac{\pi}{12}+\pi k,\qquad x=\frac{7\pi}{48}+\frac{\pi k}{4};\\[2pt] 3)&\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3},\qquad x=-\frac{\pi}{20}+\frac{2\pi k}{5};\\[2pt] 4)&\quad x=\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}. \end{aligned} \]
Как это получается
Основной приём — собрать \(\sin\) и \(\cos\) с одинаковым аргументом по формуле вспомогательного угла, а затем использовать: \[ \cos A=\cos B \iff A=\pm B+2\pi k, \] \[ \sin A=\sin B \iff A=B+2\pi k \ \text{или}\ A=\pi-B+2\pi k. \]
1)
\[
\sqrt3\cos3x+\sin3x=\cos x+\sqrt3\sin x
\]
\[
2\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right).
\]
Значит,
\[
3x-\frac{\pi}{6}=\pm\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+2\pi k.
\]
Отсюда получаются две серии:
\[
x=-\frac{\pi}{12}+\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}.
\]
2)
\[
\cos5x-\sqrt3\sin5x=2\cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right).
\]
Уравнение принимает вид
\[
\sin3x=\sin\left(5x-\frac{\pi}{6}\right).
\]
Тогда
\[
3x=5x-\frac{\pi}{6}+2\pi k
\]
или
\[
3x=\pi-\left(5x-\frac{\pi}{6}\right)+2\pi k.
\]
После упрощения:
\[
x=\frac{\pi}{12}+\pi k,\qquad x=\frac{7\pi}{48}+\frac{\pi k}{4}.
\]
3)
Правая часть:
\[
\sqrt2(\cos x-\sin x)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).
\]
Поэтому
\[
2\cos4x=2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right),
\]
\[
4x=\pm\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2\pi k.
\]
Отсюда:
\[
x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3},\qquad x=-\frac{\pi}{20}+\frac{2\pi k}{5}.
\]
4)
Перенесём \(\cos4x\):
\[
\cos2x-\cos4x=2\sqrt3\sin x\cos3x.
\]
По формуле разности косинусов:
\[
\cos2x-\cos4x=2\sin3x\sin x.
\]
Получаем:
\[
2\sin x\left(\sin3x-\sqrt3\cos3x\right)=0.
\]
Значит,
\[
\sin x=0 \quad\text{или}\quad \tan3x=\sqrt3.
\]
Отсюда:
\[
x=\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}.
\]
Проверка подстановкой подтверждает серии: например, \(x=\frac{\pi}{12}\) обращает уравнение 2 в ноль, а \(x=\frac{\pi}{9}\) подходит в уравнение 4.
Обсуждение
2 сообщенияРаспиши 1 и 2 пример
По фото это пункты 1 и 2 из задания 20.10. Решаю подробно.
Краткие ответы
При \(k\in\mathbb Z\):
\[ 1)\quad x=-\frac{\pi}{12}+\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}; \]
\[ 2)\quad x=\frac{\pi}{12}+\pi k,\qquad x=-\frac{5\pi}{48}+\frac{\pi k}{4} \]
или то же самое во второй серии:
\[ x=\frac{7\pi}{48}+\frac{\pi k}{4}. \]
1) \(\sqrt3\cos3x+\sin3x-\cos x=\sqrt3\sin x\)
Перенесём \(\cos x\) и \(\sqrt3\sin x\):
\[ \sqrt3\cos3x+\sin3x=\cos x+\sqrt3\sin x. \]
Соберём каждую часть по формуле вспомогательного угла.
Левая часть:
\[ \sqrt3\cos3x+\sin3x =2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos3x+\frac12\sin3x\right) =2\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right). \]
Правая часть:
\[ \cos x+\sqrt3\sin x =2\left(\frac12\cos x+\frac{\sqrt3}{2}\sin x\right) =2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right). \]
Получаем:
\[ 2\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right), \]
то есть
\[ \cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right). \]
Используем формулу
\[ \cos A=\cos B \iff A=\pm B+2\pi k. \]
Значит,
\[ 3x-\frac{\pi}{6} = \pm\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+2\pi k. \]
Случай 1: знак «плюс»
\[ 3x-\frac{\pi}{6}=x-\frac{\pi}{3}+2\pi k. \]
\[ 2x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k. \]
\[ x=-\frac{\pi}{12}+\pi k. \]
Случай 2: знак «минус»
\[ 3x-\frac{\pi}{6} = -x+\frac{\pi}{3}+2\pi k. \]
\[ 4x=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]
\[ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}. \]
Ответ 1
\[ \boxed{x=-\frac{\pi}{12}+\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.} \]
2) \(2\sin3x+\cos5x-\sqrt3\sin5x=0\)
Сгруппируем \(\cos5x-\sqrt3\sin5x\):
\[ \cos5x-\sqrt3\sin5x = 2\left(\frac12\cos5x-\frac{\sqrt3}{2}\sin5x\right) = 2\cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right). \]
Тогда уравнение принимает вид
\[ 2\sin3x+2\cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=0. \]
Разделим на \(2\):
\[ \sin3x+\cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=0. \]
\[ \cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=-\sin3x. \]
Так как
\[ -\sin3x=\cos\left(3x+\frac{\pi}{2}\right), \]
получаем:
\[ \cos\left(5x+\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(3x+\frac{\pi}{2}\right). \]
Снова используем
\[ \cos A=\cos B \iff A=\pm B+2\pi n. \]
Значит,
\[ 5x+\frac{\pi}{3} = \pm\left(3x+\frac{\pi}{2}\right)+2\pi n. \]
Случай 1: знак «плюс»
\[ 5x+\frac{\pi}{3}=3x+\frac{\pi}{2}+2\pi n. \]
\[ 2x=\frac{\pi}{6}+2\pi n. \]
\[ x=\frac{\pi}{12}+\pi n. \]
Случай 2: знак «минус»
\[ 5x+\frac{\pi}{3} = -3x-\frac{\pi}{2}+2\pi n. \]
\[ 8x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n. \]
\[ x=-\frac{5\pi}{48}+\frac{\pi n}{4}. \]
Эту серию можно записать иначе. Если заменить \(n\) на \(n+1\), получится:
\[ x=\frac{7\pi}{48}+\frac{\pi n}{4}. \]
Ответ 2
\[ \boxed{ x=\frac{\pi}{12}+\pi n,\qquad x=-\frac{5\pi}{48}+\frac{\pi n}{4} \quad(n\in\mathbb Z). } \]
Или в равносильной записи:
\[ \boxed{ x=\frac{\pi}{12}+\pi k,\qquad x=\frac{7\pi}{48}+\frac{\pi k}{4}, \quad k\in\mathbb Z. } \]
Все выполненные преобразования равносильные, поэтому обе полученные серии являются полными ответами.
