реши 20.11

Кратко (все \(k\in\mathbb Z\)):

1. \(x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\)
2. \(x=\dfrac{3\pi}{4}+\pi k\)
3. \(x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\) или \(x=\dfrac{3\pi}{4}+\pi k\)
4. \(x=\dfrac{3\pi}{4}+\pi k\)

Ключевые шаги

Обозначим \(s=\sin x,\ c=\cos x\). Полезно помнить: \[ (s+c)^2=1+\sin 2x. \]

1. Раскрываем скобки: \[ s^3\left(1+\frac cs\right)+c^3\left(1+\frac sc\right) =s^3+s^2c+c^3+c^2s=s+c. \] Получаем \[ s+c=2\sqrt{sc}. \] Здесь \(sc>0\), причём \(s+c>0\), значит \(s,c>0\). По неравенству \[ s+c\ge 2\sqrt{sc}, \] равенство возможно только при \(s=c\). Поэтому \(\sin x=\cos x>0\), то есть \[ x=\frac{\pi}{4}+2\pi k. \]

2. Пусть \(t=\sin x+\cos x\). Тогда \[ \sin 2x=t^2-1. \] Уравнение: \[ t^2-1+5t=-1 \quad\Rightarrow\quad t(t+5)=0. \] Так как \(t\in[-\sqrt2;\sqrt2]\), значение \(t=-5\) невозможно. Остаётся \(t=0\): \[ \sin x+\cos x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi k. \]

3. Обозначим \(t=\sin x+\cos x\). Правая часть неотрицательна, поэтому \(t\ge0\). Возводим в квадрат: \[ t^2=1-2\cos^2 x. \] Но \(t^2=1+2\sin x\cos x\), поэтому \[ 1+2sc=1-2c^2 \] \[ 2c(s+c)=0. \] Возможны два случая:

• \(c=0\). Тогда \(\sin x=1\), так как \(t\ge0\). Отсюда \[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]
• \(s+c=0\), то есть \(t=0\). Тогда из \(s^2+c^2=1\) получаем \(c^2=\frac12\), откуда \[ x=\frac{3\pi}{4}+\pi k. \]

4. Снова \(t=\sin x+\cos x\). Тогда \[ 1+\sin2x=t^2. \] Уравнение принимает вид \[ t^2=7t \quad\Rightarrow\quad t(t-7)=0. \] Значение \(t=7\) невозможно, значит \(t=0\): \[ \sin x+\cos x=0, \] откуда \[ x=\frac{3\pi}{4}+\pi k. \]