Задача Задача №3811746

Аноним

20 часов назад · публичный вопрос

Аноним 20 часов назад

Придумать 3 задачи на колебательное движение

Ответ нейросети

20 часов назад

Краткий ответ — три задачи

Задача 1 (счёт колебаний). Маятник за 2 минуты совершил 60 полных колебаний. Найдите период и частоту колебаний.

Задача 2 (пружинный маятник). Груз на пружине жёсткостью 100 Н/м колеблется с периодом 0,628 с. Найдите массу груза.

Задача 3 (уравнение колебаний). Координата груза меняется по закону \(x = 0{,}05\cos(4\pi t)\) (в метрах). Найдите амплитуду, период, частоту и максимальную скорость груза.

Решения и принцип

Задача 1

Переводим время в секунды: \(t = 2\) мин \(= 120\) с, число колебаний \(N = 60\).

Период — время одного полного колебания: \[ T = \frac{t}{N} = \frac{120}{60} = 2\ \text{с} \]

Частота — число колебаний за 1 секунду: \[ \nu = \frac{1}{T} = 0{,}5\ \text{Гц} \]

Проверка: \(T\cdot\nu = 2 \cdot 0{,}5 = 1\) — верно, период и частота всегда взаимно обратны.

Задача 2

Формула периода пружинного маятника: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

Возводим в квадрат и выражаем массу: \[ T^2 = \frac{4\pi^2 m}{k} \quad\Rightarrow\quad m = \frac{kT^2}{4\pi^2} \] \[ m = \frac{100 \cdot 0{,}628^2}{4 \cdot 3{,}14^2} \approx \frac{39{,}4}{39{,}5} \approx 1\ \text{кг} \]

Проверка: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{2\pi}{10} \approx 0{,}628\) с — совпало.

Задача 3

Общий вид гармонических колебаний: \(x = A\cos(\omega t + \varphi_0)\). Сравниваем с условием:

амплитуда \(A = 0{,}05\) м \(= 5\) см;
циклическая частота \(\omega = 4\pi\) рад/с;
период \(T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\) с;
частота \(\nu = \dfrac{1}{T} = 2\) Гц;
максимальная скорость \(v_{\max} = A\omega = 0{,}05 \cdot 4\pi \approx 0{,}63\) м/с.

Как придумать свою задачу

Хватит трёх «кирпичиков»:

\(T = \dfrac{t}{N}\) и \(\nu = \dfrac{1}{T}\) — связь периода, частоты и времени;
\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\) и \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\) — пружинный и математический маятники;
\(x = A\cos(\omega t)\), \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\), \(v_{\max} = A\omega\) — описание колебаний формулой.

Берём любые две величины из формулы и просим найти третью — получается новая задача.

Обсуждение

6 сообщений

Аноним 20 часов назад

Написать всё по порядку. Дано, найти и решения

Нейросеть20 часов назад

Задача 1

Дано: \[ t = 2\ \text{мин} = 120\ \text{с}, \qquad N = 60 \]

Найти: \(T\) — ? \(\nu\) — ?

Решение:

Период — время одного полного колебания: \[ T = \frac{t}{N} = \frac{120}{60} = 2\ \text{с} \]

Частота — число колебаний за 1 секунду: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = 0{,}5\ \text{Гц} \]

Проверка: \(T \cdot \nu = 2 \cdot 0{,}5 = 1\) — верно.

Ответ: \(T = 2\) с; \(\nu = 0{,}5\) Гц.

Задача 2

Дано: \[ k = 100\ \text{Н/м}, \qquad T = 0{,}628\ \text{с}, \qquad \pi \approx 3{,}14 \]

Найти: \(m\) — ?

Решение:

Период пружинного маятника: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

Возводим обе части в квадрат: \[ T^2 = \frac{4\pi^2 m}{k} \]

Выражаем массу: \[ m = \frac{kT^2}{4\pi^2} \]

Подставляем числа: \[ m = \frac{100 \cdot 0{,}628^2}{4 \cdot 3{,}14^2} = \frac{100 \cdot 0{,}3944}{4 \cdot 9{,}8596} = \frac{39{,}44}{39{,}44} \approx 1\ \text{кг} \]

Проверка: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{2\pi}{10} \approx 0{,}628\) с — совпало с условием.

Ответ: \(m \approx 1\) кг.

Задача 3

Дано: \[ x = 0{,}05\cos(4\pi t)\ \text{(м)} \]

Найти: \(A\) — ? \(T\) — ? \(\nu\) — ? \(v_{\max}\) — ?

Решение:

Общий вид гармонических колебаний: \[ x = A\cos(\omega t + \varphi_0) \]

Сравниваем с заданным уравнением и находим: \[ A = 0{,}05\ \text{м} = 5\ \text{см}, \qquad \omega = 4\pi\ \text{рад/с}, \qquad \varphi_0 = 0 \]

Период: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\ \text{с} \]

Частота: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}5} = 2\ \text{Гц} \]

Максимальная скорость: \[ v_{\max} = A\omega = 0{,}05 \cdot 4\pi \approx 0{,}63\ \text{м/с} \]

Проверка: \(\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 2 = 4\pi\) рад/с — совпало с уравнением.

Ответ: \(A = 0{,}05\) м; \(T = 0{,}5\) с; \(\nu = 2\) Гц; \(v_{\max} \approx 0{,}63\) м/с.

Что важно запомнить при оформлении

В «Дано» все величины сразу переводи в СИ (минуты → секунды, сантиметры → метры).
В «Найти» выписывай только буквы искомых величин.
В «Решении» сначала пиши формулу в общем виде, потом выражай искомую величину, и только затем подставляй числа.
Заканчивай ответ с единицами измерения.

Аноним 20 часов назад

Придумать ещё тоже по таким способом

Нейросеть20 часов назад

Задача 4 (математический маятник)

Дано: \[ l = 1\ \text{м}, \qquad g = 9{,}8\ \text{м/с}^2, \qquad \pi \approx 3{,}14 \]

Найти: \(T\) — ? \(\nu\) — ?

Решение:

Период математического маятника: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \]

Подставляем числа: \[ T = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\frac{1}{9{,}8}} \approx 6{,}28 \cdot 0{,}319 \approx 2\ \text{с} \]

Частота: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = 0{,}5\ \text{Гц} \]

Проверка: маятник длиной около 1 м действительно качается с периодом примерно 2 с — это известный факт.

Ответ: \(T \approx 2\) с; \(\nu = 0{,}5\) Гц.

Задача 5 (пружинный маятник: находим период)

Дано: \[ m = 0{,}2\ \text{кг}, \qquad k = 20\ \text{Н/м}, \qquad \pi \approx 3{,}14 \]

Найти: \(T\) — ? \(\nu\) — ?

Решение:

Период пружинного маятника: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

Подставляем числа: \[ T = 2 \cdot 3{,}14 \cdot \sqrt{\frac{0{,}2}{20}} = 6{,}28 \cdot \sqrt{0{,}01} = 6{,}28 \cdot 0{,}1 \approx 0{,}63\ \text{с} \]

Частота: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}63} \approx 1{,}6\ \text{Гц} \]

Проверка: \(\omega = \frac{2\pi}{T} \approx \frac{6{,}28}{0{,}63} \approx 10\) рад/с, а по формуле \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{20}{0{,}2}} = 10\) рад/с — совпало.

Ответ: \(T \approx 0{,}63\) с; \(\nu \approx 1{,}6\) Гц.

Задача 6 (уравнение колебаний с синусом)

Дано: \[ x = 0{,}02\sin(10\pi t)\ \text{(м)} \]

Найти: \(A\) — ? \(T\) — ? \(\nu\) — ? \(v_{\max}\) — ? \(a_{\max}\) — ?

Решение:

Общий вид: \[ x = A\sin(\omega t + \varphi_0) \]

Сравниваем и находим: \[ A = 0{,}02\ \text{м} = 2\ \text{см}, \qquad \omega = 10\pi\ \text{рад/с}, \qquad \varphi_0 = 0 \]

Период: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0{,}2\ \text{с} \]

Частота: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}2} = 5\ \text{Гц} \]

Максимальная скорость: \[ v_{\max} = A\omega = 0{,}02 \cdot 10\pi \approx 0{,}63\ \text{м/с} \]

Максимальное ускорение: \[ a_{\max} = A\omega^2 = 0{,}02 \cdot (10\pi)^2 \approx 0{,}02 \cdot 987 \approx 19{,}7\ \text{м/с}^2 \]

Проверка: \(\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 5 = 10\pi\) рад/с — совпало с уравнением.

Ответ: \(A = 0{,}02\) м; \(T = 0{,}2\) с; \(\nu = 5\) Гц; \(v_{\max} \approx 0{,}63\) м/с; \(a_{\max} \approx 19{,}7\) м/с².

Как устроены эти три задачи

Задача 4 — «обратная» к задаче 2 из первого набора: там искали массу, здесь по длине нити ищем период.
Задача 5 — прямая: все величины даны, надо только подставить и посчитать.
Задача 6 — та же схема, что и задача 3, но с синусом вместо косинуса и добавлено ускорение: \(a_{\max} = A\omega^2\).

Если нужно, могу придумать задачи на энергию колебаний (\(E = \frac{kA^2}{2}\)) или на смещение тела в конкретный момент времени \(t\).

Аноним 20 часов назад

Придумать ещё 4 таких задач

Нейросеть20 часов назад

Задача 7 (энергия колебаний)

Дано: \[ k = 400\ \text{Н/м}, \qquad A = 0{,}05\ \text{м}, \qquad m = 0{,}1\ \text{кг}, \qquad \pi \approx 3{,}14 \]

Найти: \(E\) — ? \(v_{\max}\) — ? \(T\) — ?

Решение:

Полная энергия пружинного маятника: \[ E = \frac{kA^2}{2} = \frac{400 \cdot 0{,}05^2}{2} = \frac{400 \cdot 0{,}0025}{2} = 0{,}5\ \text{Дж} \]

Циклическая частота: \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{400}{0{,}1}} = \sqrt{4000} \approx 63{,}2\ \text{рад/с} \]

Максимальная скорость — вся энергия перешла в кинетическую: \[ v_{\max} = A\omega = 0{,}05 \cdot 63{,}2 \approx 3{,}16\ \text{м/с} \]

Период: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{6{,}28}{63{,}2} \approx 0{,}1\ \text{с} \]

Проверка: \(\dfrac{mv_{\max}^2}{2} = \dfrac{0{,}1 \cdot 3{,}16^2}{2} \approx 0{,}5\) Дж — совпало с \(E\).

Ответ: \(E = 0{,}5\) Дж; \(v_{\max} \approx 3{,}16\) м/с; \(T \approx 0{,}1\) с.

Задача 8 (смещение и скорость в момент времени)

Дано: \[ x = 0{,}1\cos(2\pi t)\ \text{(м)}, \qquad t = \frac{1}{6}\ \text{с} \]

Найти: \(x\) — ? \(v\) — ? \(a\) — ?

Решение:

Из уравнения: \(A = 0{,}1\) м, \(\omega = 2\pi\) рад/с.

Смещение в момент \(t\): \[ x = 0{,}1\cos\left(2\pi \cdot \frac{1}{6}\right) = 0{,}1\cos\frac{\pi}{3} = 0{,}1 \cdot 0{,}5 = 0{,}05\ \text{м} \]

Скорость — производная координаты: \[ v = -A\omega\sin(\omega t) = -0{,}1 \cdot 2\pi \cdot \sin\frac{\pi}{3} = -0{,}628 \cdot 0{,}866 \approx -0{,}54\ \text{м/с} \]

Знак «минус» значит, что тело движется против оси \(x\); модуль скорости \(0{,}54\) м/с.

Ускорение: \[ a = -A\omega^2\cos(\omega t) = -0{,}1 \cdot 4\pi^2 \cdot 0{,}5 \approx -1{,}97\ \text{м/с}^2 \]

Проверка: \(a = -\omega^2 x = -39{,}5 \cdot 0{,}05 \approx -1{,}97\) м/с² — совпало.

Ответ: \(x = 0{,}05\) м; \(v \approx -0{,}54\) м/с; \(a \approx -1{,}97\) м/с².

Задача 9 (длина математического маятника)

Дано: \[ T = 1\ \text{с}, \qquad g = 9{,}8\ \text{м/с}^2, \qquad \pi \approx 3{,}14 \]

Найти: \(l\) — ? \(\nu\) — ?

Решение:

Формула периода: \[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \]

Возводим в квадрат: \[ T^2 = \frac{4\pi^2 l}{g} \]

Выражаем длину: \[ l = \frac{gT^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}8 \cdot 1^2}{4 \cdot 3{,}14^2} = \frac{9{,}8}{39{,}4} \approx 0{,}25\ \text{м} \]

Частота: \[ \nu = \frac{1}{T} = 1\ \text{Гц} \]

Проверка: \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}25}{9{,}8}} = 6{,}28 \cdot 0{,}16 \approx 1\) с — совпало.

Ответ: \(l \approx 0{,}25\) м (25 см); \(\nu = 1\) Гц.

Задача 10 (период, частота и путь)

Дано: \[ t = 30\ \text{с}, \qquad N = 15, \qquad A = 4\ \text{см} = 0{,}04\ \text{м} \]

Найти: \(T\) — ? \(\nu\) — ? \(s\) — ?

Решение:

Период: \[ T = \frac{t}{N} = \frac{30}{15} = 2\ \text{с} \]

Частота: \[ \nu = \frac{1}{T} = 0{,}5\ \text{Гц} \]

За одно полное колебание тело проходит путь \(4A\) (вперёд, назад, снова вперёд, назад): \[ s_1 = 4A = 4 \cdot 0{,}04 = 0{,}16\ \text{м} \]

За \(N = 15\) колебаний: \[ s = N \cdot 4A = 15 \cdot 0{,}16 = 2{,}4\ \text{м} \]

Проверка: \(s = 4AN = 4 \cdot 0{,}04 \cdot 15 = 2{,}4\) м — совпало.

Ответ: \(T = 2\) с; \(\nu = 0{,}5\) Гц; \(s = 2{,}4\) м.

Что нового в этих четырёх задачах

Задача 7 — энергетический подход: \(E = \dfrac{kA^2}{2}\), а скорость находится через \(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\).
Задача 8 — работа с уравнением: подставляем время, берём производную для скорости и ускорения.
Задача 9 — обратная задача к задаче 4: по периоду ищем длину нити.
Задача 10 — «текстовая» задача: сначала \(T = \dfrac{t}{N}\), затем путь \(s = 4AN\).

Если нужно, могу добавить задачи с графиком колебаний или на затухающие колебания.