Тест по алгебре, 8 класс. Тема: «Свойства степени с целым показателем». ВАРИАНТ 2. Часть 1. Вычисления. 1. Вычислите: 3⁴
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Тест по алгебре, 8 класс. Тема: «Свойства степени с целым показателем» ВАРИАНТ 2 Фамилия, класс: ___ Ответ: в каждом задании можно записать ответ в строке «Ответ: ___»
Часть 1. Вычисления
- Вычислите: 3⁴
- Вычислите: 9⁰
- Вычислите: 2⁻³
- Вычислите: (5/3)⁻²
Часть 2. Умножение и деление степеней 5. Представьте в виде степени: 7⁴ · 7⁵ 6. Представьте в виде степени: 15⁹ : 15⁴ 7. Вычислите: 3⁴ · 3⁻² 8. Вычислите: 2⁻⁵ : 2⁻⁶
Часть 3. Возведение в степень, упрощение 9. Упростите: (y⁴)⁻³ 10. Упростите: (3x²)² 11. Вычислите: (5⁻¹)⁻² 12. Упростите: (b⁻⁴ · b⁶) / b⁻³ 13. Вычислите: 2⁻³ + 2⁰ 14. Упростите: (a²b⁻³)⁻³
Часть 4. Повышенной сложности 15. Вычислите: (3⁵)⁻¹ · 9² 16. Упростите: (b⁵ / b⁻³)⁻² 17. Вычислите: ((3⁵)³ · 3⁻⁶) / 3⁵ 18. Вычислите: 10⁻² : 10⁻⁴ · 100 19. Упростите: ((y⁻²)³ · y⁷) / y⁻³ 20. Известно, что b = 3⁻². Найдите значение выражения b⁻²
Краткий ответ
| № | Ответ | № | Ответ |
|---|---|---|---|
| 1 | \(81\) | 11 | \(25\) |
| 2 | \(1\) | 12 | \(b^{5}\) |
| 3 | \(\frac{1}{8}\) | 13 | \(\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}\) |
| 4 | \(\frac{9}{25}\) | 14 | \(\frac{b^{9}}{a^{6}}\) |
| 5 | \(7^{9}\) | 15 | \(\frac{1}{3}\) |
| 6 | \(15^{5}\) | 16 | \(b^{-16}=\frac{1}{b^{16}}\) |
| 7 | \(9\) | 17 | \(81\) |
| 8 | \(2\) | 18 | \(10\,000\) |
| 9 | \(y^{-12}=\frac{1}{y^{12}}\) | 19 | \(y^{4}\) |
| 10 | \(9x^{4}\) | 20 | \(81\) |
Какие правила здесь работают
\[ a^{0}=1,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n} \] \[ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\qquad a^{m}:a^{n}=a^{m-n} \] \[ (a^{m})^{n}=a^{mn},\qquad (ab)^{n}=a^{n}b^{n} \]
Главная идея: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются, при возведении степени в степень — перемножаются. Отрицательный показатель просто «переворачивает» дробь.
Часть 1. Вычисления
- \(3^{4}=3\cdot3\cdot3\cdot3=81\).
- \(9^{0}=1\) — любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.
- \(2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\).
- \(\left(\frac{5}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}\) — минус в показателе переворачивает дробь, а двойка возводит в квадрат.
Часть 2. Умножение и деление
- \(7^{4}\cdot7^{5}=7^{4+5}=7^{9}\).
- \(15^{9}:15^{4}=15^{9-4}=15^{5}\).
- \(3^{4}\cdot3^{-2}=3^{4+(-2)}=3^{2}=9\).
- \(2^{-5}:2^{-6}=2^{-5-(-6)}=2^{1}=2\) — минус на минус даёт плюс, поэтому показатель вырос.
Часть 3. Возведение в степень и упрощение
- \((y^{4})^{-3}=y^{4\cdot(-3)}=y^{-12}=\frac{1}{y^{12}}\).
- \((3x^{2})^{2}=3^{2}\cdot(x^{2})^{2}=9x^{4}\) — степень каждого множителя.
- \((5^{-1})^{-2}=5^{(-1)\cdot(-2)}=5^{2}=25\).
- \(\dfrac{b^{-4}\cdot b^{6}}{b^{-3}}=\dfrac{b^{2}}{b^{-3}}=b^{2-(-3)}=b^{5}\).
- \(2^{-3}+2^{0}=\frac{1}{8}+1=\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}\) — здесь именно сложение, показатели не трогаем.
- \((a^{2}b^{-3})^{-3}=a^{-6}b^{9}=\dfrac{b^{9}}{a^{6}}\).
Часть 4. Повышенная сложность
- \((3^{5})^{-1}\cdot9^{2}=3^{-5}\cdot(3^{2})^{2}=3^{-5}\cdot3^{4}=3^{-1}=\frac{1}{3}\).
- \(\left(\dfrac{b^{5}}{b^{-3}}\right)^{-2}=(b^{5-(-3)})^{-2}=(b^{8})^{-2}=b^{-16}=\dfrac{1}{b^{16}}\).
- \(\dfrac{(3^{5})^{3}\cdot3^{-6}}{3^{5}}=\dfrac{3^{15}\cdot3^{-6}}{3^{5}}=\dfrac{3^{9}}{3^{5}}=3^{4}=81\).
- \(10^{-2}:10^{-4}\cdot100=10^{-2-(-4)}\cdot10^{2}=10^{2}\cdot10^{2}=10^{4}=10\,000\). Действия идут слева направо: сначала деление, потом умножение.
- \(\dfrac{(y^{-2})^{3}\cdot y^{7}}{y^{-3}}=\dfrac{y^{-6}\cdot y^{7}}{y^{-3}}=\dfrac{y^{1}}{y^{-3}}=y^{1-(-3)}=y^{4}\).
- \(b=3^{-2}\), значит \(b^{-2}=(3^{-2})^{-2}=3^{4}=81\). Тот же ответ через дроби: \(b=\frac{1}{9}\), тогда \(b^{-2}=\frac{1}{(1/9)^{2}}=81\).
Проверка
- №4: \(\left(\frac{5}{3}\right)^{-2}=\frac{1}{(5/3)^{2}}=\frac{9}{25}\) — совпало.
- №13: \(\frac{1}{8}+1=\frac{9}{8}\approx1{,}125\) — правдоподобно, это меньше 2.
- №18: \(10^{-2}:10^{-4}=10^{2}=100\), затем \(100\cdot100=10\,000\) — совпало.
- №20: \(3^{-2}=0{,}111\ldots\), обратное к квадрату даёт \(81\) — совпало.
