как решать с лёгким способом модуль числа уравнения и неравенства, содержащие модуль по алгебре 8 класс?
Краткий ответ
Модуль — это расстояние: \(|x|\) — расстояние от \(x\) до нуля, \(|x-a|\) — расстояние между \(x\) и \(a\). Поэтому почти все задания решаются по готовым шаблонам, а не «в лоб».
Главная мнемоника: «меньше — между, больше — врозь».
Уравнения
- \(|f|=a\):
- \(a<0\) — корней нет (модуль не бывает отрицательным);
- \(a=0\) — \(f=0\);
- \(a>0\) — \(f=a\) или \(f=-a\).
\(|f|=|g|\) — модули снимаем сразу, знаки правой части проверять не нужно: \[ f=g \quad \text{или} \quad f=-g \] (потому что \(|A|=|B| \iff A^2=B^2 \iff (A-B)(A+B)=0\)).
\(|f|=g\) — здесь правая часть зависит от \(x\), поэтому нужна система: \[ \begin{cases} g \ge 0, \\ f=g \ \text{или}\ f=-g. \end{cases} \] Без условия \(g\ge 0\) появляются посторонние корни.
Пример 1. \(|2x-1|=5\): \(2x-1=5 \Rightarrow x=3\); \(2x-1=-5 \Rightarrow x=-2\). Проверка: \(|5|=5\), \(|-5|=5\). Ответ: \(-2;\ 3\).
Пример 2. \(|x+3|=|2x-1|\): \(x+3=2x-1 \Rightarrow x=4\); \(x+3=-2x+1 \Rightarrow 3x=-2 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}\). Проверка: \(|7|=|7|\) и \(\left|\frac{7}{3}\right|=\left|-\frac{7}{3}\right|\). Ответ: \(-\frac{2}{3};\ 4\).
Пример 3 (опасный тип). \(|x-2|=3x\): \[ \begin{cases} 3x\ge 0,\\ x-2=3x \ \text{или}\ x-2=-3x.\end{cases} \] Первое даёт \(x=-1\) — не подходит (\(x\ge 0\)). Второе: \(4x=2 \Rightarrow x=0{,}5\). Ответ: \(0{,}5\). Без условия \(g\ge0\) корень \(-1\) был бы посторонним.
Неравенства
Для числа \(a\):
- \(|f|<a\): при \(a\le 0\) решений нет; при \(a>0\) — двойное неравенство \(-a<f<a\);
- \(|f|\le a\): при \(a<0\) решений нет; при \(a\ge 0\) — \(-a\le f\le a\);
- \(|f|>a\): при \(a<0\) — любое \(x\); при \(a=0\) — \(f\ne 0\); при \(a>0\) — \(f<-a\) или \(f>a\);
- \(|f|\ge a\): при \(a\le 0\) — любое \(x\); при \(a>0\) — \(f\le -a\) или \(f\ge a\).
Если справа стоит выражение с \(x\):
\[ |f|<g \iff -g<f<g, \qquad |f|>g \iff f>g \ \text{или}\ f<-g. \]
Пример 4. \(|3x+1|<7\): \(-7<3x+1<7 \Rightarrow -8<3x<6 \Rightarrow -\frac{8}{3}<x<2\).
Пример 5. \(|x-4|\ge 2\): \(x-4\le -2\) или \(x-4\ge 2\), то есть \(x\le 2\) или \(x\ge 6\).
Пример 6. \(|x+1|>2x-3\): первая ветвь \(x+1>2x-3 \Rightarrow x<4\); вторая \(x+1<-(2x-3) \Rightarrow 3x<2 \Rightarrow x<\frac{2}{3}\). Объединяем: \(x<4\). Проверка: при \(x=3{,}9\) получаем \(4{,}9>4{,}8\) — верно; при \(x=4\) будет \(5>5\) — неверно (граница не входит). ✔
Если модулей несколько — метод интервалов
Пример 7. \(|x-1|+|x+2|=5\). Нули подмодульных выражений: \(1\) и \(-2\).
- \(x<-2\): \(-(x-1)-(x+2)=-2x-1=5 \Rightarrow x=-3\) — подходит;
- \(-2\le x<1\): \(-(x-1)+(x+2)=3\ne 5\) — корней нет;
- \(x\ge 1\): \((x-1)+(x+2)=2x+1=5 \Rightarrow x=2\) — подходит.
Ответ: \(-3;\ 2\). Геометрическая проверка: сумма расстояний от \(x\) до \(1\) и до \(-2\) равна \(5\), а между самими точками расстояние \(3\), значит \(x\) стоит на \(1\) левее \(-2\) или на \(1\) правее \(1\). Совпало.
Алгоритм-шпаргалка
- Определи вид задания: \(|f|=a\), \(|f|=g\), \(|f|=|g|\), \(|f|\vee a\), \(|f|\vee g\), несколько модулей.
- Примени нужный шаблон. Если справа выражение с \(x\) — не забывай про \(g\ge 0\) (для равенства и «меньше»).
- Реши уравнения/неравенства уже без модуля.
- Проверь: подстановкой в исходное или условием \(g\ge 0\); в методе интервалов — попаданием корня в свой промежуток.
- В ответе: «или» — объединение, «и» — система (пересечение).
Частые ошибки: раскрывать \(|f|=g\) без условия \(g\ge0\); писать \(|f|<a\) как \(f<a\) вместо двойного неравенства; забывать вторую ветвь \(f<-a\) при знаке «больше»; «снимать» модули в \(|f|<|g|\) — надёжнее возвести в квадрат: \(f^2<g^2\).
Обсуждение
4 сообщенияА если модулей два и знак «больше»?
А если модулей два и знак «больше»?
Коротко
Для двух модулей со знаком «больше» есть три разных ситуации, и способ зависит от того, что стоит справа:
- \(|f|>|g|\) (модуль против модуля) — возводим в квадрат.
- \(|f|>g\) (справа выражение с \(x\)) — две ветви: \(f>g\) или \(f<-g\), без дополнительных условий.
- \(|f|+|g|>a\) (два модуля в сумме) — метод интервалов.
1. \(|f|>|g|\) — возводим в квадрат
Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат не добавляет корней: \[ |f|>|g| \iff f^2>g^2 \iff f^2-g^2>0 \iff (f-g)(f+g)>0. \] Дальше — обычный метод интервалов.
Пример 1. \(|x-1|>|x+3|\): \[ (x-1)^2>(x+3)^2 \iff (x-1-x-3)(x-1+x+3)>0 \iff -4(2x+2)>0 \iff x<-1. \] Проверка: \(x=-2\): \(|-3|=3>|1|=1\) — верно; \(x=0\): \(1>3\) — неверно. Ответ: \(x<-1\).
Геометрический лайфхак. \(|x-a|>|x-b|\) означает «\(x\) ближе к \(b\), чем к \(a\)» — это половина прямой со стороны \(b\), граница — середина отрезка: \[ x>\frac{a+b}{2}\ \text{(если ближе к } a\text{)} \quad\text{или}\quad x<\frac{a+b}{2}\ \text{(если ближе к } b\text{)}. \] В примере 1: середина \(\frac{-3+1}{2}=-1\), точки левее \(-1\) ближе к \(-3\). Мгновенный ответ без вычислений.
2. \(|f|>g\) — две ветви
\[ |f|>g \iff f>g \ \text{или}\ f<-g. \] Здесь, в отличие от равенства \(|f|=g\), никаких условий на \(g\) не нужно — это равносильность при любых \(f,g\).
Пример 2. \(|2x-1|>x+2\):
- \(2x-1>x+2 \Rightarrow x>3\);
- \(2x-1<-(x+2) \Rightarrow 3x<-1 \Rightarrow x<-\frac{1}{3}\).
Ответ: \(x<-\frac{1}{3}\) или \(x>3\). Проверка: \(x=-1\): \(|-3|=3>1\) ✔; \(x=0\): \(1>2\) ✘ (и \(0\) не входит в ответ) ✔; \(x=4\): \(7>6\) ✔.
3. Два модуля в сумме
Пример 3. \(|x-1|+|x+3|>6\).
Нули подмодульных выражений: \(-3\) и \(1\). Разбиваем на промежутки и считаем на каждом:
- \(x<-3\): \(-(x-1)-(x+3)>6 \Rightarrow -2x-2>6 \Rightarrow x<-4\) — вся полупрямая \(x<-4\) входит;
- \(-3\le x<1\): \(-(x-1)+(x+3)=4>6\) — ложно, решений нет;
- \(x\ge 1\): \((x-1)+(x+3)>6 \Rightarrow 2x+2>6 \Rightarrow x>2\).
Ответ: \(x<-4\) или \(x>2\). Геометрическая проверка: сумма расстояний до точек \(1\) и \(-3\); между ними расстояние \(4\), к «\(6\)» не хватает \(2\), то есть по \(1\) с каждой стороны — надо отойти левее \(-4\) или правее \(2\). ✔
Главная ошибка
Нельзя переносить шаблон для двух модулей на \(|f|>|g|\) в виде «\(f>g\) или \(f<-g\)» — это неверно. Контрпример: \(|x|>|x-2|\). Правильный ответ \(x>1\), а «неверный» способ даёт: \(x>x-2\) — верно всегда, или \(x<2-x \Rightarrow x<1\) — вместе получается всё множество \(x\), что неправда (при \(x=0\): \(0>2\) неверно).
Алгоритм
- Посмотри на правую часть: модуль → квадрат и разность квадратов; выражение → две ветви; сумма модулей → интервалы.
- Реши получившиеся неравенства без модулей.
- Собери ответ через «или» (объединение).
- Проверь границы: при строгом знаке они не входят; и подставь по одной точке из каждого промежутка.
Краткий ответ
«Два модуля и больше» — это три разных типа, и шаблон у каждого свой:
| Вид | Лёгкий способ |
|---|---|
| \(|f|>|g|\) | возвести в квадрат: \(f^2>g^2\), затем \((f-g)(f+g)>0\) |
| \(|f|+|g|>a\) | метод интервалов или геометрия расстояний |
| \(|f|-|g|>a\) | только метод интервалов |
Общее правило: нельзя заменять \(|f|+|g|>a\) на «\(f+g>a\) или \(f+g<-a\)» — это работает только для одного модуля.
Случай 1: \(|f|>|g|\) — самый быстрый
Обе части неотрицательны, поэтому возводим в квадрат без всяких условий:
\[ |f|>|g| \iff f^2>g^2 \iff (f-g)(f+g)>0 \]
Дальше — обычный метод интервалов по двум корням.
Пример. \(|x-1|>|x+3|\).
\[ (x-1)^2>(x+3)^2 \iff (x-1)^2-(x+3)^2>0 \] \[ \big((x-1)-(x+3)\big)\big((x-1)+(x+3)\big)>0 \] \[ (-4)(2x+2)>0 \iff 2x+2<0 \iff x<-1 \]
Проверка: \(x=-2\): \(|-3|=3>|1|=1\) ✔; \(x=0\): \(1>3\) ✘. Ответ: \(x<-1\). Смысл: \(x\) ближе к \(-3\), чем к \(1\), то есть левее середины \(-1\).
Случай 2: \(|f|+|g|>a\) — метод интервалов
- Найди нули обоих подмодульных выражений, отметь их на числовой прямой.
- На каждом промежутке знаки \(f\) и \(g\) постоянны — раскрой модули и реши линейное неравенство.
- Пересеки полученный ответ с этим промежутком.
- Объедини результаты со всех промежутков.
Пример. \(|x-1|+|x+2|>4\). Нули: \(-2\) и \(1\).
- \(x<-2\): \(-(x-1)-(x+2)>4 \Rightarrow -2x-1>4 \Rightarrow x<-2{,}5\). Пересечение с \(x<-2\): \(x<-2{,}5\).
- \(-2\le x<1\): \(-(x-1)+(x+2)=3>4\) — ложно, решений нет.
- \(x\ge 1\): \((x-1)+(x+2)>4 \Rightarrow 2x+1>4 \Rightarrow x>1{,}5\). Пересечение: \(x>1{,}5\).
Ответ: \(x<-2{,}5\) или \(x>1{,}5\).
Проверка геометрией. \(|x-1|+|x+2|\) — сумма расстояний от \(x\) до \(1\) и до \(-2\). Между точками она равна \(3\), а нужно больше \(4\), значит надо отойти от отрезка \([-2;\,1]\) на \((4-3):2=0{,}5\) в каждую сторону. Получаем \(x<-2{,}5\) или \(x>1{,}5\). Совпало — это удобно использовать как проверку.
Готовое правило для \(|x-a|+|x-b|>c\) (пусть \(a<b\), \(d=b-a\)):
- \(c<d\) — верно при всех \(x\);
- \(c=d\) — верно при \(x<a\) или \(x>b\) (сам отрезок \([a;b]\) не входит);
- \(c>d\) — \(x<\frac{a+b-c}{2}\) или \(x>\frac{a+b+c}{2}\).
При знаке \(\ge\) граничные точки включаются.
Случай 3: \(|f|-|g|>a\) — только интервалы
Пример. \(|x|-|x-2|>1\). Нули: \(0\) и \(2\).
- \(x<0\): \(-x-(2-x)=-2>1\) — нет решений.
- \(0\le x<2\): \(x-(2-x)>1 \Rightarrow 2x>3 \Rightarrow x>1{,}5\). Пересечение: \(1{,}5<x<2\).
- \(x\ge 2\): \(x-(x-2)=2>1\) — верно при всех \(x\ge2\).
Ответ: \(x>1{,}5\). Проверка: \(x=3\): \(3-1=2>1\) ✔; \(x=1\): \(1-1=0>1\) ✘.
Алгоритм-шпаргалка
- Посмотри, что стоит справа и между модулями:
- \(|f|>|g|\) → квадрат;
- сумма/разность модулей → интервалы.
- Выпиши нули подмодульных выражений и разбей прямую на промежутки.
- На каждом промежутке сними модули по знаку выражения и реши неравенство.
- Пересеки с промежутком, потом объедини всё.
- Проверь геометрией (для суммы/разности расстояний) или подстановкой пары точек, особенно у границ.
Частые ошибки: раскрывать сумму модулей как один модуль; забывать пересечь ответ со своим промежутком; путать выколотые и закрашенные границы при строгом/нестрогом знаке.
