как решать квадратные уравнени

Коротко: \(x_1\) и \(x_2\) находят по одной и той же формуле, только в одном случае берут знак «плюс», а в другом — «минус»: \[ x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a},\qquad x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}. \] Порядок корней не важен: можно наоборот, \(x_1\) с минусом, \(x_2\) с плюсом.

Как это делать по шагам

1. Приведи уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
2. Вычисли дискриминант: \[ D=b^2-4ac. \]
3. Извлеки из него квадратный корень: \(\sqrt{D}\).
4. Подставь \(a\), \(b\) и \(\sqrt{D}\) в две формулы — с плюсом и с минусом.
5. Сократи получившиеся дроби, если это возможно.

Пример

Решим \[ x^2-7x+10=0. \] Здесь \(a=1\), \(b=-7\), \(c=10\). Находим дискриминант: \[ D=(-7)^2-4\cdot1\cdot10=49-40=9. \] Значит, \(\sqrt{D}=\sqrt{9}=3\). Теперь подставляем: \[ x_1=\frac{-(-7)+3}{2\cdot1}=\frac{7+3}{2}=\frac{10}{2}=5, \] \[ x_2=\frac{-(-7)-3}{2\cdot1}=\frac{7-3}{2}=\frac{4}{2}=2. \] Ответ: \(x_1=5\), \(x_2=2\).

Обрати внимание: \(b=-7\), поэтому \(-b=7\). Здесь легко ошибиться со знаком — всегда подставляй \(b\) вместе с его знаком.

Проверка

По теореме Виета: \[ x_1+x_2=5+2=7=-\frac{-7}{1},\qquad x_1x_2=5\cdot2=10=\frac{10}{1}. \] Значит, корни найдены верно.

Что бывает с дискриминантом

• \(D>0\) — корня два, формулы дают разные числа;
• \(D=0\) — \(\sqrt{D}=0\), поэтому «плюс» и «минус» дают одно и то же: \[ x_1=x_2=-\frac{b}{2a}; \]
• \(D<0\) — из отрицательного числа корень не извлекается, действительных \(x_1\) и \(x_2\) нет.

Главное — сначала правильно найти \(D\), а потом аккуратно подставить коэффициенты в обе формулы.

Коротко: если дискриминант равен нулю, корень один, и он находится по формуле \[ x=-\frac{b}{2a}. \] Это та же общая формула \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\), просто при \(D=0\) получается \(\sqrt{D}=0\), и «плюс» с «минусом» дают одно и то же число. Поэтому такой корень ещё называют двукратным: \(x_1=x_2\).

Порядок действий

1. Приведи уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
2. Вычисли \(D=b^2-4ac\).
3. Если получилось \(D=0\), сразу пиши: \[ x=-\frac{b}{2a}. \]
4. Подставь число и посчитай. Два разных корня выписывать не нужно — корень один.

Пример 1

\[ x^2-6x+9=0. \] Здесь \(a=1\), \(b=-6\), \(c=9\): \[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0. \] Значит, корень один: \[ x=-\frac{-6}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3. \] Ответ: \(x=3\).

Проверка: \(3^2-6\cdot3+9=9-18+9=0\). Верно.

Кстати, левую часть можно было заметить сразу: \[ x^2-6x+9=(x-3)^2, \] а \((x-3)^2=0\) даёт \(x=3\). При \(D=0\) левая часть всегда оказывается полным квадратом.

Пример 2 (когда \(a\ne1\))

\[ 4x^2+12x+9=0. \] \[ D=12^2-4\cdot4\cdot9=144-144=0. \] Тогда \[ x=-\frac{12}{2\cdot4}=-\frac{12}{8}=-\frac32=-1{,}5. \] Проверка: \[ 4\cdot\frac94+12\cdot\left(-\frac32\right)+9=9-18+9=0. \] Верно. И действительно, \(4x^2+12x+9=(2x+3)^2\).

Как не перепутать случаи

• \(D>0\) — два разных корня, нужны обе формулы, с плюсом и с минусом.
• \(D=0\) — один корень \(x=-\frac{b}{2a}\).
• \(D<0\) — действительных корней нет.

Важное замечание

Формула \(x=-\frac{b}{2a}\) работает только при \(a\ne0\) и именно при \(D=0\). Нельзя брать её, если дискриминант положительный или отрицательный, — там ответ будет другим или его вовсе не будет.

Если в задаче, наоборот, дан один корень и нужно найти параметр (например, при каком \(c\) уравнение имеет единственный корень), то действуют через условие \(D=0\). Если у тебя как раз такое задание — пришли его, разберём на твоих числах.

Потому что в формуле стоит минус перед \(b\), а само \(b\) в этом уравнении отрицательное:

\[ x=-\frac{b}{2a},\qquad b=-6. \]

Подставляем \(b\) вместе с его знаком:

\[ x=-\frac{-6}{2\cdot1}. \]

Минус перед дробью и минус у шестёрки — это два минуса, а они дают плюс:

\[ -(-6)=6. \]

Поэтому получается

\[ x=\frac{6}{2}=3. \]

Можно записать и в две строки, чтобы не путаться:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-6)\pm0}{2}=\frac{6}{2}=3. \]

Как не ошибаться

Формулу удобно читать так: «минус b», то есть число, противоположное \(b\).

• если \(b=6\), то \(-b=-6\);
• если \(b=-6\), то \(-b=6\);
• если \(b=0\), то \(-b=0\).

То есть знак \(b\) в формуле всегда меняется на противоположный. Именно поэтому в уравнении \(x^2-6x+9=0\) шестёрка «превратилась» в плюс.

Проверка подтверждает ответ:

\[ 3^2-6\cdot3+9=9-18+9=0. \]

Подошло бы и \(-3\)? Нет: \((-3)^2-6\cdot(-3)+9=9+18+9=36\ne0\). Значит, корень действительно \(3\).

Коротко: теорема Виета связывает корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\) с его коэффициентами:

\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. \]

То есть сумма корней равна \(-b/a\), а произведение равно \(c/a\).

Самый удобный частный случай

Если уравнение приведённое, то есть \(a=1\) и оно имеет вид

\[ x^2+px+q=0, \]

то формулы проще:

\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \]

Здесь \(p\) — коэффициент при \(x\), \(q\) — свободный член. Знак у суммы меняется, у произведения — нет.

Пример 1: найти корни подбором

\[ x^2-7x+10=0. \]

Здесь \(p=-7\), \(q=10\), значит:

\[ x_1+x_2=7,\qquad x_1x_2=10. \]

Ищем два числа, которые дают в сумме \(7\), а в произведении \(10\). Это \(5\) и \(2\):

\[ 5+2=7,\qquad 5\cdot2=10. \]

Ответ: \(x_1=5\), \(x_2=2\). Дискриминант считать не понадобилось.

Пример 2: когда \(a\ne1\)

\[ 2x^2-5x+2=0. \]

\[ x_1+x_2=\frac{5}{2},\qquad x_1x_2=\frac{2}{2}=1. \]

Корни \(2\) и \(\frac12\): в сумме \(\frac52\), в произведении \(1\). Совпало с тем, что мы получали через дискриминант.

Пример 3: корень один

\[ x^2-6x+9=0. \]

Тогда \(x_1+x_2=6\), \(x_1x_2=9\). Подходит \(3\) и \(3\): это и есть двукратный корень \(x=3\). Виет работает и при \(D=0\).

Пример 4: проверка корней

Если ты нашёл корни через дискриминант, подставь их в формулы Виета — это быстрая проверка:

\[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}. \]

Не сходится хотя бы одно равенство — значит, где-то ошибка в \(D\) или в знаках.

Пример 5: составить уравнение по корням

Обратная теорема: если числа \(m\) и \(n\) таковы, что

\[ m+n=-p,\qquad mn=q, \]

то они являются корнями уравнения \(x^2+px+q=0\).

Например, корни \(3\) и \(-5\). Тогда

\[ p=-(3+(-5))=2,\qquad q=3\cdot(-5)=-15, \]

и уравнение:

\[ x^2+2x-15=0. \]

Пример 6: найти сумму квадратов корней, не решая

Известно, что \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\), \(x_1x_2=\frac{c}{a}\). Тогда

\[ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2. \]

Например, для \(x^2-7x+10=0\):

\[ x_1^2+x_2^2=7^2-2\cdot10=49-20=29. \]

Можно проверить: \(25+4=29\).

Важные ограничения

• Теорема Виета применяется, когда корни действительные, то есть при \(D\ge0\).
• Обязательно \(a\ne0\) — иначе это не квадратное уравнение.
• В формулах берётся \(b\) со своим знаком: для \(x^2-7x+10=0\) имеем \(b=-7\), поэтому \(-b/a=7\).
• Виет не всегда избавляет от работы: если корни не целые и не очевидные, дискриминант надёжнее. Виет удобен, когда корни подбираются или нужна проверка.

Если хочешь, пришли своё уравнение — покажу на нём, как подбирать корни через сумму и произведение.

Не обязательно. Если \(x_1\) и \(x_2\) уже найдены (например, через дискриминант), теорема Виета — это необязательная проверка, а не ещё один шаг решения. В ответ её записывать не нужно, если этого не требует задание.

Когда Виет действительно нужен

1. Проверка. Подставил корни в \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) и \(x_1x_2=\frac{c}{a}\) — сошлось, значит, ошибки в \(D\) и знаках нет. Не сошлось — ищи ошибку.
2. Вместо дискриминанта. Если корни подбираются легко, Виет быстрее: \[ x^2-7x+10=0 \;\Rightarrow\; x_1+x_2=7,\; x_1x_2=10 \;\Rightarrow\; 5 \text{ и } 2. \]
3. Один корень известен. Второй находится без дискриминанта: если \(x_1\) известен, то \[ x_2=\frac{c}{a x_1}. \]
4. Нужна сумма или произведение корней, а сами корни не требуются: \[ x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}. \]
5. Нужно найти коэффициент уравнения по известным корням (обратная теорема).
6. Задание прямо просит применить Виета — тогда это часть решения, и её надо показать.

Когда можно спокойно пропустить

• Ты нашёл корни через дискриминант, ответ получен, а в задании не сказано «проверьте по теореме Виета» и не спрашиваются сумма, произведение или коэффициенты.
• Уравнение с «некрасивыми» корнями: тогда проверка через Виета даст те же громоздкие дроби и ничего не упростит.

Важно не путать

Виета не вычисляют — это не формула для нахождения корней, а соотношение между корнями и коэффициентами. Считать \(D\) и потом ещё обязательно «считать Виета» не требуется: это два разных инструмента для одной цели.

Если сомневаешься, полезно ли это в конкретной задаче, — пришли её условие, скажу, нужна там проверка или нет.

Коротко: теорему Виета применяют, когда не хотят считать дискриминант или когда нужны не сами корни, а их сумма, произведение, знаки, коэффициенты. Схема одна: привести уравнение к виду \(x^2+px+q=0\), записать \[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q, \] и дальше работать с этими двумя числами.

Способ 1. Найти корни подбором

\[ x^2-5x+6=0. \] Здесь \(p=-5\), \(q=6\), значит: \[ x_1+x_2=5,\qquad x_1x_2=6. \] Ищем два числа с произведением \(6\): это пары \(1\) и \(6\), \(2\) и \(3\). Сумма \(5\) — у второй пары. Ответ: \(x_1=3\), \(x_2=2\).

Полезно помнить: числа ищут среди делителей \(q\), а не наугад.

Способ 2. С отрицательными числами

\[ x^2+3x-10=0. \] \[ x_1+x_2=-3,\qquad x_1x_2=-10. \] Произведение отрицательное — значит, корни разных знаков. Делители \(10\): \(1\) и \(10\), \(2\) и \(5\). Проверяем: \(-5+2=-3\), а \((-5)\cdot2=-10\). Ответ: \(x_1=-5\), \(x_2=2\).

Здесь легко ошибиться: сумма равна \(-p\), то есть знак меняется, а произведение — просто \(q\).

Способ 3. Когда \(a\ne1\)

\[ 2x^2-7x+3=0. \] \[ x_1+x_2=\frac{7}{2},\qquad x_1x_2=\frac{3}{2}. \] Подбираем: \(3\) и \(\frac12\). Проверка: \(3+\frac12=\frac72\), \(3\cdot\frac12=\frac32\). Сходится.

Если подбор не идёт, уравнение лучше решать через дискриминант — Виет здесь не обязан быть проще.

Способ 4. Найти второй корень, зная первый

\[ x^2-7x+12=0,\qquad x_1=4. \] Произведение корней \(12\), значит: \[ x_2=\frac{12}{4}=3. \] Можно и через сумму: \(x_2=7-4=3\). Тот же ответ. Это удобно в задачах, где один корень дан или угадан.

Способ 5. Составить уравнение по корням (обратная теорема)

Корни \(x_1=-2\), \(x_2=5\). Тогда \[ -p=-2+5=3 \;\Rightarrow\; p=-3,\qquad q=(-2)\cdot5=-10, \] и уравнение: \[ x^2-3x-10=0. \]

Способ 6. Найти коэффициент по известному корню

\[ x^2-6x+c=0,\qquad x_1=2. \] Второй корень: \(x_2=6-2=4\). Тогда \[ c=x_1x_2=2\cdot4=8. \] Ответ: \(c=8\).

Способ 7. Определить знаки корней, не решая

По \(q=x_1x_2\) и сумме:

• \(q>0\) и сумма \(>0\) — оба корня положительные;
• \(q>0\) и сумма \(<0\) — оба отрицательные;
• \(q<0\) — корни разных знаков, причём больший по модулю имеет знак суммы.

Пример: \(x^2-4x-5=0\). \(q=-5<0\) — знаки разные; сумма \(4>0\) — положительный корень больше по модулю. Действительно, корни \(5\) и \(-1\).

Способ 8. Считать выражения с корнями

Если нужны \(x_1^2+x_2^2\), \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\), \(x_1^3+x_2^3\), их выражают через сумму \(S=x_1+x_2\) и произведение \(P=x_1x_2\):

\[ x_1^2+x_2^2=S^2-2P, \] \[ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}, \] \[ x_1^3+x_2^3=S^3-3PS. \]

Например, для \(x^2-7x+10=0\): \(S=7\), \(P=10\), значит \(x_1^2+x_2^2=49-20=29\).

Что проверять после применения

• Уравнение приведено так, что \(a=1\) (или делишь \(b\) и \(c\) на \(a\)).
• Знак суммы: \(x_1+x_2=-p\), а не \(p\).
• Корни подставлены в оба равенства — при подборе это обязательная проверка.
• Теорема работает только при \(D\ge0\); если \(D<0\), корней нет и говорить о сумме и произведении нечего.
• При подборе с дробями удобнее сначала умножить уравнение на \(a\), чтобы работать с целыми числами.

Скинь своё уравнение — покажу на нём, как подобрать корни через сумму и произведение.

\[ 16x^2=49 \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ 16x^2-49=0. \]

Это разность квадратов:

\[ 16x^2-49=(4x)^2-7^2=(4x-7)(4x+7). \]

Значит:

\[ (4x-7)(4x+7)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ 4x-7=0 \quad\text{или}\quad 4x+7=0. \]

Отсюда:

\[ x=\frac{7}{4} \quad\text{или}\quad x=-\frac{7}{4}. \]

Ответ: \[ x_1=\frac{7}{4}=1{,}75,\qquad x_2=-\frac{7}{4}=-1{,}75. \]

Можно решить и короче:

\[ x^2=\frac{49}{16} \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{49}{16}}=\pm\frac{7}{4}. \]

Не забывай про два знака: у уравнения с \(x^2\) обычно два корня — положительный и отрицательный.

Верно, \(b=0\) — но со знаком \(c\) нужно быть внимательным: после переноса \(49\) влево получаем

\[ 16x^2-49=0, \]

поэтому

\[ a=16,\qquad b=0,\qquad c=-49. \]

Именно \(c=-49\), а не \(49\): знак коэффициента \(c\) всегда берётся из уравнения вида \(ax^2+bx+c=0\). Если бы ты оставил \(c=49\), то уравнение было бы \(16x^2+49=0\), а это уже другое уравнение — у него вообще нет действительных корней.

Теперь решим через дискриминант, чтобы проверить прежний ответ:

\[ D=b^2-4ac=0^2-4\cdot16\cdot(-49)=0+3136=3136. \]

\[ \sqrt{D}=\sqrt{3136}=56. \]

Подставляем в формулу корней:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-0\pm56}{2\cdot16}=\frac{\pm56}{32}. \]

Сокращаем дробь на \(8\):

\[ x_1=\frac{56}{32}=\frac{7}{4}=1{,}75,\qquad x_2=-\frac{56}{32}=-\frac{7}{4}=-1{,}75. \]

Получилось то же, что и через разность квадратов.

Почему здесь нельзя писать \(x=-\frac{b}{2a}\)

Формула \(x=-\frac{b}{2a}\) годится только при \(D=0\). Здесь \(D=3136\ne0\), поэтому корня два, и нужны оба знака — «плюс» и «минус».

Полезное наблюдение

Когда \(b=0\), дискриминант считается особенно просто:

\[ D=-4ac, \]

и уравнение сводится к

\[ x^2=-\frac{c}{a}. \]

В нашем случае:

\[ x^2=-\frac{-49}{16}=\frac{49}{16} \quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{7}{4}. \]

Так что твоя поправка правильная: \(b=0\). Главное — не потерять минус у \(c\).

Правильно так: сначала целиком вычисляем \(4ac\) (то есть \(4\cdot a\cdot c\)), а потом вычитаем это из \(b^2\).

Запись \(b^2-4ac\) устроена как \(b^2-(4ac)\): умножение выполняется раньше вычитания. Внутри \(4ac\) тоже всё умножение, поэтому порядок множителей не важен:

\[ 4ac=4\cdot a\cdot c=a\cdot4\cdot c. \]

Вычислять «\(b^2-4\)», а потом умножать на \(a\) и \(c\) — нельзя, это уже другая формула.

На твоём уравнении \(16x^2-49=0\)

Здесь \(a=16\), \(b=0\), \(c=-49\). Сначала считаем \(4ac\):

\[ 4ac=4\cdot16\cdot(-49)=64\cdot(-49)=-3136. \]

Теперь вычитаем из \(b^2\):

\[ D=b^2-4ac=0^2-(-3136)=0+3136=3136. \]

Обрати внимание на два минуса: в формуле стоит «минус \(4ac\)», а само \(4ac\) отрицательное, поэтому получается плюс.

Ещё пример для тренировки

\[ 2x^2-5x+2=0,\qquad a=2,\; b=-5,\; c=2. \]

Сначала \(4ac\):

\[ 4\cdot2\cdot2=16. \]

Потом \(b^2\) и вычитание:

\[ D=(-5)^2-16=25-16=9. \]

Короткая памятка по шагам:

1. \(b^2\);
2. \(4ac\);
3. \(D=b^2-(4ac)\).

Потому что знак меняется у числа, которое переносим через знак равенства, а \(16x^2\) мы никуда не переносили.

Исходно:

\[ 16x^2=49. \]

Чтобы привести уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\), надо перенести \(49\) в левую часть. При переносе через «\(=\)» знак меняется:

\[ 16x^2-49=0. \]

Поэтому:

\[ a=16,\qquad b=0,\qquad c=-49. \]

Минус относится именно к свободному члену \(49\), а не к \(16\). Семёрка \(16\) осталась на левой части, поэтому её знак не изменился.

Почему нельзя взять \(c=49\)

Если записать \(c=49\), получится уравнение

\[ 16x^2+49=0, \]

а это уже не исходное уравнение. Проверим корень \(x=\frac74\):

\[ 16\left(\frac74\right)^2=16\cdot\frac{49}{16}=49 \]

— исходное равенство выполнено. А подставим в \(16x^2+49\):

\[ 16\left(\frac74\right)^2+49=49+49=98\ne0. \]

То есть \(c=49\) дало бы неправильное уравнение.

Можно ли перенести \(16x^2\)?

Можно, тогда получится:

\[ 0=49-16x^2. \]

Здесь действительно \(a=-16\), \(c=49\). Но это то же уравнение:

\[ 49-16x^2=0 \quad\Leftrightarrow\quad 16x^2-49=0. \]

Обычно так не делают: стандартный вид принято записывать с положительным \(a\). Главное — не путать два разных набора коэффициентов. Если уж переносишь налево \(49\), то \(c=-49\); если переносишь направо \(16x^2\), то \(a=-16\), \(c=49\). Смешивать нельзя.

Коротко: \(16x^2\) остаётся слева с плюсом, а \(49\) переходит влево и становится \(-49\), поэтому \(c=-49\), \(a=16\).

Держи:

\[ 3x^2-10x+8=0 \]

Реши его — сначала найди \(a\), \(b\), \(c\), потом дискриминант и корни. Пришли своё решение, я проверю каждый шаг и скажу, где ошибка, если она будет. Подсказок пока не даю, чтобы ты попробовал сам.

Всё верно: \(a=3\), \(b=-10\), \(c=8\). Коэффициенты выписал правильно, со знаками не напутал.

Теперь следующий шаг — вычисли дискриминант:

\[ D=b^2-4ac \]

Подставь числа вместо \(a\), \(b\), \(c\) и посчитай. Сначала найди \(b^2\), потом \(4ac\), и только потом вычитай. Пришли, что получилось, — проверим вместе.

Почти — но в арифметике сбой. Смотри:

\[ b^2=(-10)^2=100 \]

— это верно.

\[ 4ac=4\cdot3\cdot8=4\cdot24=96 \]

— вот здесь ты молодец, \(3\cdot8=24\), и \(4\cdot24=96\).

А теперь вычитание:

\[ D=100-96=4, \]

а не \(12\). Похоже, при вычитании потерялось \(8\).

Итого:

\[ D=4. \]

Что это значит

\(D=4>0\), значит, корней два разных. И ещё приятное: \(\sqrt{D}=\sqrt{4}=2\) — извлекается хорошо, ответы будут красивые.

Твой следующий шаг — найти корни:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]

Подставь \(b=-10\), \(\sqrt{D}=2\), \(a=3\) и посчитай оба значения. Не забудь про минус перед \(b\): \(-(-10)=10\). Пришли, что получится, — проверим.

Оба корня верные! Только вторую дробь нужно сократить:

\[ x_2=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \]

Числитель и знаменатель делятся на \(2\). В ответе принято оставлять несократимую дробь (и не переводить в десятичную, если получается не конечная — здесь \(1{,}33\ldots\), так что лучше \(\frac43\)).

Ответ: \[ x_1=2,\qquad x_2=\frac{4}{3}. \]

Проверка по теореме Виета

\[ x_1+x_2=2+\frac43=\frac{10}{3}=-\frac{b}{a}=-\frac{-10}{3}=\frac{10}{3} \]

— сошлось.

\[ x_1x_2=2\cdot\frac43=\frac83=\frac{c}{a}=\frac83 \]

— тоже сошлось. Значит, ошибок нет.

Проверка подстановкой

\[ 3\cdot2^2-10\cdot2+8=12-20+8=0 \]

\[ 3\cdot\left(\frac43\right)^2-10\cdot\frac43+8=3\cdot\frac{16}{9}-\frac{40}{3}+8=\frac{16}{3}-\frac{40}{3}+\frac{24}{3}=0 \]

Оба корня подходят.

Итог по всей задаче

1. \(a=3\), \(b=-10\), \(c=8\).
2. \(D=100-96=4\), \(\sqrt{D}=2\).
3. \(x_{1,2}=\frac{10\pm2}{6}\), откуда \(x_1=2\), \(x_2=\frac43\).

Ты сам прошёл всё решение — молодец. Хочешь ещё одно уравнение для тренировки, посложнее (например, с отрицательным \(c\) или с \(a\ne1\))?

Держи уравнение посложнее — здесь \(a\ne1\) и \(c\) отрицательное:

\[ 3x^2-5x-2=0 \]

Порядок тот же:

1. выпиши \(a\), \(b\), \(c\) со знаками;
2. вычисли \(D=b^2-4ac\) — аккуратно с минусом у \(c\);
3. найди \(\sqrt{D}\);
4. подставь в \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) и сократи дроби.

Пришли коэффициенты и дискриминант — проверим. Если застрянешь на каком-то шаге, скажи, на каком именно.

Верно: \(a=3\), \(b=-5\), \(c=-2\). Знаки выписал правильно — это главное на этом шаге.

Теперь считай дискриминант:

\[ D=b^2-4ac \]

Только обрати внимание на две вещи:

• \(b^2=(-5)^2=25\);
• \(4ac=4\cdot3\cdot(-2)\) — здесь произведение получится отрицательным, и в формуле стоит «минус \(4ac\)», то есть минус на минус даст плюс.

Пришли, что получится, — проверим.

Почти! Считаешь ты верно, но споткнулся на вычитании отрицательного числа.

\[ 4ac=4\cdot3\cdot(-2)=-24 \]

Это правильно. А теперь смотри, что стоит в формуле:

\[ D=b^2-4ac=25-(-24) \]

То есть вычитается минус двадцать четыре — а минус на минус даёт плюс:

\[ 25-(-24)=25+24=49 \]

А ты записал \(25-24\), как будто \(4ac\) было положительным. Получилось бы \(1\), но это неверно.

Итак: \[ D=49,\qquad \sqrt{D}=7. \]

Следующий шаг — корни

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm7}{6} \]

Считай два значения: с плюсом и с минусом. Пришли, что получится, — проверим.

Оба корня верные:

\[ x_1=\frac{5+7}{6}=\frac{12}{6}=2,\qquad x_2=\frac{5-7}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac13. \]

Дробь \(-\frac{2}{6}\) ты правильно сократил до \(-\frac13\) — это несократимая.

Проверка по теореме Виета

\[ x_1+x_2=2-\frac13=\frac53=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{3}=\frac53 \]

— сошлось.

\[ x_1x_2=2\cdot\left(-\frac13\right)=-\frac23=\frac{c}{a}=\frac{-2}{3} \]

— тоже сошлось.

Проверка подстановкой

\[ 3\cdot2^2-5\cdot2-2=12-10-2=0 \]

\[ 3\cdot\left(-\frac13\right)^2-5\cdot\left(-\frac13\right)-2=\frac13+\frac53-2=2-2=0 \]

Оба корня подходят.

Что здесь было главным

Ты споткнулся ровно на том месте, где ошибаются чаще всего: \(D=25-(-24)\). Минус перед \(4ac\) и отрицательное \(c\) вместе дают плюс, поэтому \(D=49\), а не \(1\).

Ответ: \(x_1=2\), \(x_2=-\frac13\).

Два уравнения подряд ты решил сам. Хочешь ещё одно — теперь с \(D=0\) или с \(D<0\)?

Держи следующее:

\[ 4x^2-12x+9=0 \]

Всё по знакомой схеме: выпиши \(a\), \(b\), \(c\), вычисли \(D=b^2-4ac\), найди \(\sqrt{D}\) и корни. Одно отличие от прошлых примеров почувствуешь сам, когда посчитаешь дискриминант, — просто доведи решение до конца и посмотри, что получится.

Пришли коэффициенты и \(D\) — проверим.

Итог \(D=0\) — верный, но сами числа надо поправить: там не \(148\), а \(144\).

\[ b^2=(-12)^2=144 \] \[ 4ac=4\cdot4\cdot9=16\cdot9=144 \] \[ D=144-144=0 \]

Так что запись должна быть \(D=144-144=0\). Похоже, ты случайно прибавил \(4\) к обоим числам — но важно, чтобы \(b^2\) и \(4ac\) считались честно, иначе на других числах ошибка уже не скомпенсируется.

Что означает \(D=0\)

Корень один (двукратный), и «плюс с минусом» в общей формуле дадут одно и то же число, потому что \(\sqrt{0}=0\). Поэтому считай по короткой формуле:

\[ x=-\frac{b}{2a} \]

Подставь \(b=-12\) и \(a=4\), не забудь про минус перед \(b\). Пришли, что получится.

Маленькая подсказка для самопроверки

Присмотрись к левой части:

\[ 4x^2-12x+9=(2x-3)^2 \]

Если твой корень обращает \(2x-3\) в ноль — всё решено верно.

Почти, но в знаменателе ошибка: там \(2a=8\), а не \(16\).

\[ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\cdot4}=\frac{12}{8}=\frac32 \]

Похоже, ты в знаменатель подставил \(4a=16\). Но в формуле стоит именно \(2a\) — двойка умножается на \(a\), а не на \(a^2\) и не \(4a\). Смотри: \(a=4\), значит \(2a=2\cdot4=8\).

И сокращать \(\frac{12}{8}\) надо на \(4\):

\[ \frac{12}{8}=\frac{12:4}{8:4}=\frac32 \]

Ответ: \(x=\frac32=1{,}5\) (корень один, двукратный).

Проверка

Через формулу корней:

\[ x_{1,2}=\frac{12\pm\sqrt{0}}{8}=\frac{12}{8}=\frac32 \]

Через квадрат:

\[ 4x^2-12x+9=(2x-3)^2=0 \;\Rightarrow\; 2x=3 \;\Rightarrow\; x=\frac32 \]

Подстановкой:

\[ 4\cdot\frac94-12\cdot\frac32+9=9-18+9=0 \]

Всё сходится, а \(\frac34\) не подошло бы: \(4\cdot\frac{9}{16}-12\cdot\frac34+9=2{,}25-9+9=2{,}25\ne0\).

Что запомнить

• при \(D=0\): \(x=-\frac{b}{2a}\), и в знаменателе именно \(2a\);
• \(b=-12\), поэтому \(-b=12\);
• дробь в ответе сокращай до конца: \(\frac{12}{8}=\frac32\), а не \(\frac{12}{16}\).

Ты верно понял главное — корень один. Осталось только аккуратно считать знаменатель. Хочешь ещё одно с \(D=0\), чтобы закрепить?