Что такое многочлен?
Краткий ответ
Многочлен — это сумма одночленов, то есть выражение, составленное из чисел, переменных и их произведений, соединённых знаками «+» или «−».
\[ 5x^3-2x^2+7x-1 \]
Здесь четыре одночлена: \(5x^3\), \(-2x^2\), \(7x\), \(-1\). Каждый из них — член многочлена.
Ключевые шаги, чтобы разобраться
Сначала вспомним одночлен. Одночлен — это произведение числа и переменных в натуральных степенях: \(3x^2\), \(-7ab\), \(4\). Отдельное число тоже считается одночленом.
Складываем одночлены — получаем многочлен. Многочлен — это именно сумма одночленов, причём со знаком минус член тоже входит в сумму, просто с отрицательным коэффициентом.
Стандартный вид. Многочлен записан в стандартном виде, если все его члены — одночлены стандартного вида и среди них нет подобных. То есть \(2x+3x\) нужно свернуть в \(5x\): это не два члена, а один.
Степень многочлена. Это наибольшая из степеней его членов (степень одночлена — сумма показателей всех его переменных). У многочлена выше: у \(5x^3\) степень \(3\), у \(-2x^2\) — \(2\), у \(7x\) — \(1\), у \(-1\) — \(0\). Значит, степень многочлена равна \(3\).
Проверка на примере
Рассмотрим \(3x^2y-5xy+7\):
- члены: \(3x^2y\), \(-5xy\), \(7\);
- степень первого члена: \(2+1=3\);
- степень второго: \(1+1=2\);
- степень третьего: \(0\);
наибольшая — \(3\), поэтому это многочлен третьей степени. Всё сходится: мы просто сравнили степени членов и взяли самую большую.
Частные случаи: один член — это тоже многочлен (из одного слагаемого), а число вроде \(8\) — многочлен нулевой степени.
