Решите все так как будто учитель

Ниже — полное решение варианта 2. Сначала краткие ответы, затем ход решения, чтобы был понятен принцип.

Краткие ответы

1. а) \(7{,}7\); б) \(12\); в) \(7\).
2. а) \(x=\pm 8\); б) \(x=\pm\sqrt{19}\); в) действительных корней нет; г) \(x=36\).
3. \(a^4\), \(a\ne0\).
4. а) \((x-3)(x-5)\); б) \((x-2)(3x+1)\).
5. \(\dfrac{x-5}{x+3}\), \(x\ne\pm3\). 6*. \(\dfrac{2}{a^3}-17\), \(a\ne0\).

1. Вычислите

а) Извлекаем корни: \[ 4\sqrt{25}-\sqrt{169}+\sqrt{0{,}49} =4\cdot5-13+0{,}7 =20-13+0{,}7=7{,}7. \]

б) Используем свойство \(\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}\) при \(a,b\ge0\): \[ \sqrt3\cdot\sqrt{48}=\sqrt{3\cdot48}=\sqrt{144}=12. \]

в) Используем свойство \(\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}\) при \(a\ge0,\ b>0\): \[ \frac{\sqrt{98}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{98}{2}}=\sqrt{49}=7. \]

2. Решите уравнение

Правило: уравнение \(x^2=a\) при \(a>0\) имеет корни \(x=\pm\sqrt a\); при \(a<0\) действительных корней нет.

а) \(x^2=64\), поэтому \(x=\pm8\).

б) \(x^2=19\), поэтому \(x=\pm\sqrt{19}\).

в) \(x^2=-16\). Квадрат действительного числа неотрицателен, значит, действительных корней нет.

г) \(\sqrt{x}=6\). Возводим обе части в квадрат: \[ x=6^2=36. \] Проверка: \(\sqrt{36}=6\). Верно.

3. Упростите выражение

Используем свойства степеней: \[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^m a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \] \[ \frac{(a^{-4})^2\cdot a^{11}}{a^{-1}} =\frac{a^{-8}\cdot a^{11}}{a^{-1}} =\frac{a^{3}}{a^{-1}} =a^{3-(-1)}=a^4. \] Так как есть отрицательные степени, \(a\ne0\).

4. Разложите на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен раскладывается по своим корням: \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \]

а) \(x^2-8x+15\).
По теореме Виета: \[ x_1+x_2=8,\qquad x_1x_2=15. \] Подходят числа \(3\) и \(5\). Значит, \[ x^2-8x+15=(x-3)(x-5). \]

б) \(3x^2-5x-2\).
Находим дискриминант: \[ D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49. \] Корни: \[ x_{1,2}=\frac{5\pm7}{6}. \] То есть \(x_1=2\), \(x_2=-\frac13\). Тогда \[ 3x^2-5x-2=3(x-2)\left(x+\frac13\right)=(x-2)(3x+1). \] Проверка: \[ (x-2)(3x+1)=3x^2+x-6x-2=3x^2-5x-2. \]

5. Сократите дробь

\[ \frac{x^2-8x+15}{x^2-9} =\frac{(x-3)(x-5)}{(x-3)(x+3)} =\frac{x-5}{x+3}. \] При этом знаменатель не должен обращаться в ноль: \[ x^2-9\ne0 \Rightarrow x\ne3,\ x\ne-3. \] Ответ: \(\dfrac{x-5}{x+3}\), \(x\ne\pm3\).

6*. Упростите выражение

Удобно ввести замену \(t=a^{-3}\). Тогда \[ (t+4)(t-4)-(t-1)^2 =(t^2-16)-(t^2-2t+1) =2t-17. \] Возвращаемся к \(a\): \[ 2a^{-3}-17=\frac{2}{a^3}-17. \] Так как \(a^{-3}=\dfrac1{a^3}\), нужно \(a\ne0\).

Проверка при \(a=1\): \[ (1+4)(1-4)-(1-1)^2=5\cdot(-3)-0=-15, \] а по формуле \(\frac{2}{1^3}-17=2-17=-15\). Всё сходится.