Вариант 2 1. Проверьте, является ли функция y = -cos 3x решением уравнения y' = 3sin 3x.

На фото основной блок — «Вариант 2», 10 заданий. Ниже решаю его полностью. Верхняя задача 10 про радиоактивный распад относится к другому варианту, поэтому в этот разбор не входит.

Краткие ответы

1. Да, является.
2. \(y=2x^3+C\).
3. \(y=\frac{1}{5}\sin 5x+C\).
4. \(y=Ce^{3x}\).
5. \(y=3x^2-2\).
6. \(C=5\).
7. \(y^2=\frac{x^2}{2}+C\), или \(y=\pm\sqrt{\frac{x^2}{2}+C}\).
8. \(y=\frac{1}{x^2+C}\); отдельно \(y\equiv 0\).
9. \(y=3e^{x^2/2}\).
10. \(N'=0{,}02N\), \(N=N_0e^{0{,}02t}\), \(t=\frac{\ln 2}{0{,}02}=50\ln2\approx34{,}7\) года, то есть примерно через 35 лет.

Как решать

Главный принцип: если дано \(y'=f(x)\), то интегрируем: \[ y=\int f(x)\,dx+C. \] Если уравнение связывает \(y\) и \(x\), разделяем переменные.

1. \(y=-\cos 3x\). Тогда \[ y'=(-\cos 3x)'=3\sin 3x. \] Это совпадает с правой частью уравнения, значит функция является решением.

2. \[ y=\int 6x^2\,dx=2x^3+C. \]

3. \[ y=\int \cos 5x\,dx=\frac{1}{5}\sin 5x+C. \]

4. \[ \frac{dy}{dx}=3y,\qquad \frac{dy}{y}=3\,dx. \] После интегрирования: \[ \ln|y|=3x+C_1,\qquad y=Ce^{3x}. \]

5. \[ y=\int 6x\,dx=3x^2+C. \] Из условия \(y(0)=-2\): \[ -2=3\cdot0^2+C \Rightarrow C=-2. \] Значит, \(y=3x^2-2\).

6. \[ y(0)=Ce^{0}=C=5. \] Ответ: \(C=5\), то есть \(y=5e^{-x}\).

7. \[ \frac{dy}{dx}=\frac{x}{2y}. \] Разделяем переменные: \[ 2y\,dy=x\,dx. \] Интегрируем: \[ y^2=\frac{x^2}{2}+C. \]

8. \[ \frac{dy}{dx}=-2xy^2,\qquad \frac{dy}{y^2}=-2x\,dx. \] Интегрируем: \[ -\frac{1}{y}=-x^2+C. \] Отсюда \[ y=\frac{1}{x^2+C}. \] Дополнительно решением является \(y\equiv0\).

9. Угловой коэффициент касательной — это \(y'\). По условию: \[ y'=xy. \] Разделяем переменные: \[ \frac{dy}{y}=x\,dx. \] Тогда \[ \ln|y|=\frac{x^2}{2}+C_1, \] \[ y=Ce^{x^2/2}. \] Через точку \((0;3)\): \[ 3=Ce^0 \Rightarrow C=3. \] Ответ: \[ y=3e^{x^2/2}. \]

10. Пусть \(N(t)\) — численность через \(t\) лет. Скорость роста пропорциональна численности: \[ \frac{dN}{dt}=kN. \] Ежегодный прирост \(2\%\) даёт \(k=0{,}02\), значит: \[ N'=0{,}02N. \] Решение: \[ N=N_0e^{0{,}02t}. \] Удвоение: \[ 2N_0=N_0e^{0{,}02t}, \] \[ e^{0{,}02t}=2, \] \[ t=\frac{\ln2}{0{,}02}=50\ln2\approx34{,}7. \] То есть население удвоится примерно через 35 лет.

Проверка: в №1 производная совпала с правой частью; в №5 \(y'=6x\) и \(y(0)=-2\); в №8 производная \(y=\frac{1}{x^2+C}\) действительно равна \(-2xy^2\); в №9 \(y'=3xe^{x^2/2}=xy\).