№534

Question

№534

Расшифровка фото нейросетью:
534. Решите уравнение:
а) 3x² - 7x + 4 = 0;
б) 5x² - 8x + 3 = 0;
в) 3x² - 13x + 14 = 0;
г) 2y² - 9y + 10 = 0;
д) 5y² - 6y + 1 = 0;
е) 4x² + x - 33 = 0;
ж) y² - 10y - 24 = 0;
з) p² + p - 90 = 0.

Answer

Краткий ответ

а) $1$ и $\frac43$;

б) $1$ и $0{,}6$;

в) $2$ и $\frac73$;

г) $2$ и $2{,}5$;

д) $1$ и $0{,}2$;

е) $2{,}75$ и $-3$;

ж) $12$ и $-2$;

з) $9$ и $-10$.

Главный принцип

Квадратное уравнение приводят к виду $ax^2+bx+c=0$. Затем считают дискриминант:
$$
D=b^2-4ac.
$$
Если $D>0$, корней два:
$$
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}.
$$
Если $D=0$, корень один; если $D<0$, действительных корней нет. Буква переменной — $x$, $y$ или $p$ — на алгоритм не влияет.

Разбор

а) $3x^2-7x+4=0$:
$$
D=(-7)^2-4\cdot3\cdot4=49-48=1,
$$
$$
x_{1,2}=\frac{7\pm1}{6}.
$$
Отсюда $x_1=\frac86=\frac43$, $x_2=\frac66=1$.

Остальные пункты решаются так же:

Пункт |
Уравнение |
$D$ |
Корни |

б) |
$5x^2-8x+3=0$ |
$64-60=4$ |
$1;\ 0{,}6$ |

в) |
$3x^2-13x+14=0$ |
$169-168=1$ |
$2;\ \frac73$ |

г) |
$2y^2-9y+10=0$ |
$81-80=1$ |
$2;\ 2{,}5$ |

д) |
$5y^2-6y+1=0$ |
$36-20=16$ |
$1;\ 0{,}2$ |

е) |
$4x^2+x-33=0$ |
$1+528=529=23^2$ |
$2{,}75;\ -3$ |

ж) |
$y^2-10y-24=0$ |
$100+96=196=14^2$ |
$12;\ -2$ |

з) |
$p^2+p-90=0$ |
$1+360=361=19^2$ |
$9;\ -10$ |

Например, для е):
$$
x_{1,2}=\frac{-1\pm23}{8},
$$
поэтому $x_1=\frac{22}{8}=2{,}75$, $x_2=\frac{-24}{8}=-3$.

Проверка

Удобно проверять по теореме Виета:
$$
x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca.
$$
Для а): $1+\frac43=\frac73$, и $-\frac ba=-\frac{-7}{3}=\frac73$; произведение $1\cdot\frac43=\frac43=\frac ca$. Совпало.
Для з): $9+(-10)=-1=-\frac11$, а $9\cdot(-10)=-90=\frac ca$. Тоже верно.

Полезный приём

Если $a+b+c=0$, то один корень точно равен $1$, а второй — $\frac ca$. В пунктах а), б), д) это видно сразу:
$$
3-7+4=0,\qquad 5-8+3=0,\qquad 5-6+1=0.
$$
Поэтому корни там $1$ и $\frac43$, $1$ и $\frac35=0{,}6$, $1$ и $\frac15=0{,}2$. Это быстрая самопроверка, но дискриминант работает всегда.

Пункт	Уравнение	\(D\)	Корни
б)	\(5x^2-8x+3=0\)	\(64-60=4\)	\(1;\ 0{,}6\)
в)	\(3x^2-13x+14=0\)	\(169-168=1\)	\(2;\ \frac73\)
г)	\(2y^2-9y+10=0\)	\(81-80=1\)	\(2;\ 2{,}5\)
д)	\(5y^2-6y+1=0\)	\(36-20=16\)	\(1;\ 0{,}2\)
е)	\(4x^2+x-33=0\)	\(1+528=529=23^2\)	\(2{,}75;\ -3\)
ж)	\(y^2-10y-24=0\)	\(100+96=196=14^2\)	\(12;\ -2\)
з)	\(p^2+p-90=0\)	\(1+360=361=19^2\)	\(9;\ -10\)