№534

Question

№534

Расшифровка фото нейросетью:
534. Решите уравнение:
а) $3x^2 - 7x + 4 = 0$;
б) $5x^2 - 8x + 3 = 0$;
в) $3x^2 - 13x + 14 = 0$;
г) $2y^2 - 9y + 10 = 0$;
д) $5y^2 - 6y + 1 = 0$;
е) $4x^2 + x - 33 = 0$;
ж) $y^2 - 10y - 24 = 0$;
з) $p^2 + p - 90 = 0$.

Answer

Корни уравнения № 534:

Пункт |
Уравнение |
$D$ |
Корни |

а) |
$3x^2-7x+4=0$ |
$1$ |
$1;\ \frac{4}{3}$ |

б) |
$5x^2-8x+3=0$ |
$4$ |
$\frac{3}{5};\ 1$ |

в) |
$3x^2-13x+14=0$ |
$1$ |
$2;\ \frac{7}{3}$ |

г) |
$2y^2-9y+10=0$ |
$1$ |
$2;\ \frac{5}{2}$ |

д) |
$5y^2-6y+1=0$ |
$16$ |
$\frac{1}{5};\ 1$ |

е) |
$4x^2+x-33=0$ |
$529$ |
$-3;\ \frac{11}{4}$ |

ж) |
$y^2-10y-24=0$ |
$196$ |
$-2;\ 12$ |

з) |
$p^2+p-90=0$ |
$361$ |
$-10;\ 9$ |

Как решать такие уравнения

1. Уравнение должно быть записано в виде $ax^2+bx+c=0$. В этом номере все уравнения уже приведены к такому виду.

2. Выпиши коэффициенты $a$, $b$, $c$ вместе с их знаками.

3. Вычисли дискриминант:
$$
D=b^2-4ac.
$$

4. По знаку $D$ определи число корней:
$D>0$ — два разных корня;

$D=0$ — один корень;

$D<0$ — действительных корней нет.

5. Если $D\ge 0$, корни находятся по формуле:
$$
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.
$$

Пример — пункт а)

$$
3x^2-7x+4=0,\qquad a=3,\ b=-7,\ c=4.
$$

$$
D=(-7)^2-4\cdot 3\cdot 4=49-48=1.
$$

$$
x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{6}.
$$

$$
x_1=\frac{7+1}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},\qquad
x_2=\frac{7-1}{6}=\frac{6}{6}=1.
$$

Пример — пункт е)

$$
4x^2+x-33=0,\qquad a=4,\ b=1,\ c=-33.
$$

$$
D=1^2-4\cdot 4\cdot (-33)=1+528=529=23^2.
$$

$$
x_{1,2}=\frac{-1\pm 23}{8}.
$$

$$
x_1=\frac{22}{8}=\frac{11}{4},\qquad
x_2=\frac{-24}{8}=-3.
$$

Проверка

По теореме Виета:
$$
x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.
$$

Для пункта а): $1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$, $1\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$ — совпадает с $-\frac{-7}{3}$ и $\frac{4}{3}$.

Для пункта ж): $12+(-2)=10$, $12\cdot(-2)=-24$ — совпадает с $-\frac{-10}{1}$ и $-24$.

Остальные корни проверяются так же.

Пункт	Уравнение	\(D\)	Корни
а)	\(3x^2-7x+4=0\)	\(1\)	\(1;\ \frac{4}{3}\)
б)	\(5x^2-8x+3=0\)	\(4\)	\(\frac{3}{5};\ 1\)
в)	\(3x^2-13x+14=0\)	\(1\)	\(2;\ \frac{7}{3}\)
г)	\(2y^2-9y+10=0\)	\(1\)	\(2;\ \frac{5}{2}\)
д)	\(5y^2-6y+1=0\)	\(16\)	\(\frac{1}{5};\ 1\)
е)	\(4x^2+x-33=0\)	\(529\)	\(-3;\ \frac{11}{4}\)
ж)	\(y^2-10y-24=0\)	\(196\)	\(-2;\ 12\)
з)	\(p^2+p-90=0\)	\(361\)	\(-10;\ 9\)