Точка C лежит на отрезке AB . Через точку B проведена плоскость α так, что отрезок AB не лежит в этой плоскости. Через точки A и C проведены параллельные прямые, пересекающие α в…

\[ \boxed{CC_1=6} \]

Ключевые шаги

1. Прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) параллельны, значит, лежат в одной плоскости — назовём её \(\beta\). В этой плоскости находятся точки \(A,C,B\), поскольку \(A,C,B\) лежат на одной прямой.

2. Точки \(A_1\) и \(C_1\) принадлежат и плоскости \(\alpha\), и плоскости \(\beta\). Поэтому прямая \(A_1C_1\) — линия пересечения этих плоскостей. Точка \(B\) тоже принадлежит обеим плоскостям, значит, \[ B,\ A_1,\ C_1 \] лежат на одной прямой.

3. Треугольники \(BAA_1\) и \(BCC_1\) подобны:

• угол при вершине \(B\) у них общий;
• \(AA_1\parallel CC_1\).

Соответствие сторон: \[ BA\leftrightarrow BC,\qquad AA_1\leftrightarrow CC_1. \] Поэтому \[ \frac{CC_1}{AA_1}=\frac{BC}{BA}=\frac{9}{AB}. \]

4. Из условия \[ AB:AA_1=3:2 \] следует \[ AA_1=\frac{2}{3}AB. \] Тогда \[ CC_1=AA_1\cdot \frac{9}{AB} =\frac{2}{3}AB\cdot \frac{9}{AB}=6. \]

Проверка: если, например, \(AB=12\), то \(AA_1=8\), коэффициент подобия \(9/12=3/4\), и \(CC_1=8\cdot 3/4=6\). Всё сходится.