Вариант 1. №1 Вычислите: а) √0,64 − √0,04; б) 3·√0,16; в) √900 · √100

Кратко

1. а) \(0{,}6\); б) \(1{,}2\); в) \(300\).
2. а) \(\frac{5}{8}\); б) \(28\); в) \(6\).
3. а) \(x=\pm 13\); б) \(x=\pm 0{,}2\).
4. а) \(16\); б) \(\frac{1}{36}\); в) \(\frac{1}{64}\).
5. \(a^3\) при \(a\ne0\).
6. \(512\).

Как это получается

1. Корень из десятичной дроби вычисляется по известным квадратам: \[ \sqrt{0{,}64}-\sqrt{0{,}04}=0{,}8-0{,}2=0{,}6; \] \[ 3\sqrt{0{,}16}=3\cdot0{,}4=1{,}2; \] \[ \sqrt{900}\cdot\sqrt{100}=30\cdot10=300. \]

2. Используем свойства корней: корень из произведения равен произведению корней, корень из дроби — частному корней. \[ \sqrt{\frac{25}{64}}=\frac{5}{8}; \] \[ \sqrt{56}\cdot\sqrt{14}=\sqrt{56\cdot14}=\sqrt{784}=28; \] \[ 2(\sqrt3)^2=2\cdot3=6. \]

3. Уравнение \(x^2=c\), где \(c>0\), имеет два корня: \(x=\pm\sqrt c\). Нельзя забывать отрицательный корень. \[ x^2=169 \Rightarrow x=\pm13; \] \[ x^2=0{,}04 \Rightarrow x=\pm0{,}2. \]

Проверка: \(13^2=169\), \((-13)^2=169\); \(0{,}2^2=0{,}04\), \((-0{,}2)^2=0{,}04\).

4. Нужны свойства степеней: \[ a^m a^n=a^{m+n},\quad a^m:a^n=a^{m-n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad a^{-n}=\frac1{a^n}. \] Тогда: \[ 4^{11}\cdot4^{-9}=4^{11-9}=4^2=16; \] \[ 6^{-5}:6^{-3}=6^{-5-(-3)}=6^{-2}=\frac1{36}; \] \[ (2^{-2})^3=2^{-2\cdot3}=2^{-6}=\frac1{64}. \]

5. В знаменателе стоит \(a^{-1}\): \[ \frac{(a^{-4})^2\cdot a^{10}}{a^{-1}} =\frac{a^{-8}\cdot a^{10}}{a^{-1}} =\frac{a^2}{a^{-1}} =a^{2-(-1)}=a^3. \]

6. Приводим основания к двойке: \(4=2^2\), \(8=2^3\). \[ \frac{2^{-6}\cdot4^{-3}}{8^{-7}} =\frac{2^{-6}\cdot(2^2)^{-3}}{(2^3)^{-7}} =\frac{2^{-6}\cdot2^{-6}}{2^{-21}} =\frac{2^{-12}}{2^{-21}} =2^{-12+21}=2^9=512. \]