1. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

На фото четыре задачи. Краткие ответы:

1. 38
2. 9
3. 13 см
4. 11 см

Главная формула. Если основания трапеции \(a\) и \(b\), то средняя линия \[ m=\frac{a+b}{2}. \] Значит, сумма оснований равна \(2m\).

1. \(m=28\), меньшее основание \(b=18\). Тогда \[ a=2m-b=2\cdot28-18=38. \] Проверка: \(\frac{38+18}{2}=28\).

2. \(m=7\), поэтому \(a+b=14\). Пусть большее основание \(a\), тогда \(a-b=4\). Складываем: \[ 2a=14+4=18,\qquad a=9. \] Второе основание \(5\), проверка: \(\frac{9+5}{2}=7\).

3. Периметр равен сумме всех сторон: \[ a+b+12+16=54. \] Тогда \(a+b=54-28=26\), а средняя линия \[ m=\frac{26}{2}=13\text{ см}. \]

4. Пусть \(AD=a\) — большее основание, \(BC=b\), а \(H\) — основание перпендикуляра из \(B\) на \(AD\). В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна \(\frac{a-b}{2}\), а оставшийся отрезок равен \[ \frac{a+b}{2}=m. \] То есть больший отрезок, на которые перпендикуляр делит \(AD\), как раз равен средней линии. Поэтому \[ m=11\text{ см}. \]

Принцип: средняя линия всегда равна полусумме оснований. Если дан периметр, сначала находят сумму оснований; если дана разность оснований, составляют систему «сумма и разность».