Вариант I 1. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой l. 2. Среди данных фигур подчеркните те, которые имеют оси симметрии

Краткие ответы

1. Каждая вершина четырёхугольника отражается относительно прямой \(l\): опускаем перпендикуляр к \(l\) и откладываем такое же расстояние по другую сторону. Соединив образы вершин в том же порядке, получаем равный исходному четырёхугольник, «перегнутый» через прямую \(l\).
2. Оси симметрии есть у квадрата, треугольника, ромба и правильного пятиугольника. Параллелограмм (третья фигура) оси симметрии не имеет — его подчёркивать не нужно.
3. У равностороннего треугольника 3 оси симметрии — это его медианы (они же высоты и биссектрисы).
4. При симметрии относительно центра \(O\) каждая вершина \(A\) переходит в точку \(A'\) на луче \(AO\) за точкой \(O\), причём \(OA'=OA\). Изображение прямоугольника — равный ему прямоугольник, повёрнутый на \(180^\circ\).

1. Симметрия относительно прямой \(l\)

Обозначь вершины четырёхугольника \(A, B, C, D\). Дальше для каждой вершины:

• из вершины проводим перпендикуляр к прямой \(l\) (удобно угольником);
• на продолжении этого перпендикуляра за прямую \(l\) откладываем отрезок, равный расстоянию от вершины до \(l\);
• получаем образ вершины: \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\).

Соединяем \(A'B'C'D'\) в том же порядке, в каком шли \(A, B, C, D\).

Проверка: прямая \(l\) должна быть серединным перпендикуляром к каждому отрезку \(AA'\), \(BB'\) и т. д.; стороны образа равны соответствующим сторонам исходника, а «обходить» фигуру мы будем в противоположную сторону. Если какая-то вершина лежит прямо на \(l\), она переходит сама в себя.

2. Оси симметрии фигур

Ось симметрии — прямая, при перегибе по которой две половины фигуры совпадают.

• Квадрат — 4 оси (две через середины противоположных сторон и две диагонали).
• Треугольник на рисунке равнобедренный — 1 ось (высота к основанию); если он равносторонний, то 3.
• Параллелограмм — 0 осей: при перегибе половины не совпадают, диагонали осями не являются.
• Ромб — 2 оси (его диагонали).
• Правильный пятиугольник — 5 осей (каждая проходит через вершину и середину противоположной стороны).

3. Равносторонний треугольник

Все три медианы одновременно являются высотами, биссектрисами и серединными перпендикулярами, поэтому каждая из них — ось симметрии. На чертеже: из каждой вершины проводим отрезок к середине противоположной стороны — получаем три оси, они пересекаются в одной точке (центре треугольника).

4. Симметрия относительно точки (центра)

Пусть дан прямоугольник с вершинами \(A, B, C, D\) и центр \(O\).

• Из \(A\) проводим луч \(AO\) и за точкой \(O\) откладываем \(OA' = OA\) (циркулем).
• То же для \(B, C, D\): получаем \(B', C', D'\).
• Соединяем \(A'B'C'D'\).

Проверка: точка \(O\) — середина каждого отрезка \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\); стороны образа равны и параллельны соответствующим сторонам исходного прямоугольника (фигура просто повёрнута на \(180^\circ\) вокруг \(O\)). Полезно проверить одну пару сторон линейкой: \(A'B' = AB\) и \(A'B' \parallel AB\).