136 Найти функцию, обратную к данной: 1) y = -x^(1/2); 2) y = -x^(3/5); 3) y = x^(2/3); 4) y = -x^(1/3).

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
136 Найти функцию, обратную к данной:

1. y = -x^(1/2); 2) y = -x^(3/5); 3) y = x^(2/3); 4) y = -x^(1/3).
137 На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной к данной; найти область определения и множество значений каждой из них:

2. y = 3x - 1;

3. y = (2x - 1)/3;

4. y = x^2 - 1 при x ≥ 0;

5. y = (x - 1)^2 при x ≥ 1;

6. y = x^3 - 2;

7. y = (x - 1)^3;

8. y = √(x - 1);

9. y = √x + 1.

Answer

На фото два номера — 136 и 137. Я разобрал оба: принцип один — чтобы найти обратную функцию, выражаем $x$ через $y$, затем меняем $x$ и $y$ местами. График обратной функции получается отражением исходного графика относительно прямой $y=x$. При этом область определения и множество значений меняются местами.

136. Обратные функции

1. $y=-x^{1/2}$, $x\ge 0$.
Выражаем: $x^{1/2}=-y$, значит $x=y^2$, причём $y\le 0$.
Обратная: $$
y=x^2,\quad x\le 0.
$$

2. $y=-x^{3/5}$, $x\in\mathbb R$.
$x^{3/5}=-y$, поэтому $x=(-y)^{5/3}=-y^{5/3}$.
Обратная: $$
y=-x^{5/3},\quad x\in\mathbb R.
$$

3. $y=x^{2/3}$. На всей $\mathbb R$ эта функция не обратима, так как $(-x)^{2/3}=x^{2/3}$. Берём $x\ge 0$:
$x=y^{3/2}$.
Обратная: $$
y=x^{3/2},\quad x\ge 0.
$$

4. $y=-x^{1/3}$, $x\in\mathbb R$.
$x^{1/3}=-y$, значит $x=-y^3$.
Обратная: $$
y=-x^3,\quad x\in\mathbb R.
$$

137. График и обратная функция

Для каждой пары график обратной — это отражение графика $f(x)$ относительно $y=x$. Например, в 1) точки $(0;-1)$ и $(1;2)$ исходной прямой переходят в $(-1;0)$ и $(2;1)$ обратной.

№ |
$f(x)$ |
$f^{-1}(x)$ |
$D(f)$ |
$E(f)$ |

1 |
$3x-1$ |
$\dfrac{x+1}{3}$ |
$\mathbb R$ |
$\mathbb R$ |

2 |
$\dfrac{2x-1}{3}$ |
$\dfrac{3x+1}{2}$ |
$\mathbb R$ |
$\mathbb R$ |

3 |
$x^2-1,\ x\ge 0$ |
$\sqrt{x+1}$ |
$[0;+\infty)$ |
$[-1;+\infty)$ |

4 |
$(x-1)^2,\ x\ge 1$ |
$1+\sqrt{x}$ |
$[1;+\infty)$ |
$[0;+\infty)$ |

5 |
$x^3-2$ |
$\sqrt[3]{x+2}$ |
$\mathbb R$ |
$\mathbb R$ |

6 |
$(x-1)^3$ |
$1+\sqrt[3]{x}$ |
$\mathbb R$ |
$\mathbb R$ |

7 |
$\sqrt{x-1}$ |
$x^2+1,\ x\ge 0$ |
$[1;+\infty)$ |
$[0;+\infty)$ |

8 |
$\sqrt{x}+1$ |
$(x-1)^2,\ x\ge 1$ |
$[0;+\infty)$ |
$[1;+\infty)$ |

У обратной функции $D(f^{-1})=E(f)$, а $E(f^{-1})=D(f)$.

Проверка для 137(3):
$$
f^{-1}(f(x))=\sqrt{(x^2-1)+1}=\sqrt{x^2}=x \quad (x\ge 0),
$$
$$
f(f^{-1}(x))=(\sqrt{x+1})^2-1=x \quad (x\ge -1).
$$
Значит, функции действительно взаимно обратны.

№	\(f(x)\)	\(f^{-1}(x)\)	\(D(f)\)	\(E(f)\)
1	\(3x-1\)	\(\dfrac{x+1}{3}\)	\(\mathbb R\)	\(\mathbb R\)
2	\(\dfrac{2x-1}{3}\)	\(\dfrac{3x+1}{2}\)	\(\mathbb R\)	\(\mathbb R\)
3	\(x^2-1,\ x\ge 0\)	\(\sqrt{x+1}\)	\([0;+\infty)\)	\([-1;+\infty)\)
4	\((x-1)^2,\ x\ge 1\)	\(1+\sqrt{x}\)	\([1;+\infty)\)	\([0;+\infty)\)
5	\(x^3-2\)	\(\sqrt[3]{x+2}\)	\(\mathbb R\)	\(\mathbb R\)
6	\((x-1)^3\)	\(1+\sqrt[3]{x}\)	\(\mathbb R\)	\(\mathbb R\)
7	\(\sqrt{x-1}\)	\(x^2+1,\ x\ge 0\)	\([1;+\infty)\)	\([0;+\infty)\)
8	\(\sqrt{x}+1\)	\((x-1)^2,\ x\ge 1\)	\([0;+\infty)\)	\([1;+\infty)\)