давление воздуха в сосуде =97 кило паскалей. после 3-х ходов откачивающего поршневого насоса давление воздуха упало до 28,7 килопаскалей. определите отношение объема сосуда и…

Краткий ответ: \(\dfrac{V_{\text{сосуда}}}{V_{\text{цилиндра}}}=2\), то есть объём сосуда в 2 раза больше рабочего объёма цилиндра насоса.

Как рассуждать

Пусть \(V\) — объём сосуда, \(v\) — объём цилиндра насоса. Считаем процесс изотермическим, утечек и «вредного» объёма нет.

За один ход воздух из сосуда расширяется в суммарный объём \(V+v\), поэтому по закону Бойля — Мариотта:

\[ p_1(V+v)=p_0V \]

Значит, после одного хода давление уменьшается в отношении

\[ \frac{p_1}{p_0}=\frac{V}{V+v}. \]

После сброса порции воздуха давление стало \(p_1\), и следующий ход даёт такое же отношение. Поэтому за 3 хода:

\[ p_3=p_0\left(\frac{V}{V+v}\right)^3. \]

Подставляем \(p_0=97\) кПа, \(p_3=28{,}7\) кПа:

\[ \frac{28{,}7}{97}= \left(\frac{V}{V+v}\right)^3. \]

Отсюда:

\[ \frac{V}{V+v}=\sqrt[3]{\frac{28{,}7}{97}}\approx\frac{2}{3}. \]

Тогда

\[ 3V=2(V+v)\quad\Rightarrow\quad V=2v. \]

То есть

\[ \frac{V}{v}\approx2. \]

Проверка: если \(V:v=2:1\), то

\[ p_3=97\left(\frac{2}{3}\right)^3 =97\cdot\frac{8}{27}\approx28{,}74\ \text{кПа}, \]

что с учётом округления совпадает с \(28{,}7\) кПа.