1. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора.

Что дано

• Экран \(A\): высота \(h_A=80\) см, расстояние от проектора \(d_A=250\) см.
• Экран \(B\): высота \(h_B=160\) см, расстояние \(d_B=x\) — неизвестно.
• Настройки проектора не меняются.

Идея решения

Проектор — точечный источник света. Его лучи расходятся и образуют световой «конус»: чем дальше экран, тем больше пятно. В любом вертикальном сечении получаются два подобных треугольника с общей вершиной в проекторе.

У таких треугольников отношение высот равно отношению расстояний от проектора:

\[ \frac{h_B}{h_A}=\frac{d_B}{d_A}. \]

Подстановка чисел

\[ \frac{160}{80}=\frac{x}{250} \]

\[ 2=\frac{x}{250} \]

\[ x=2\cdot 250=500 \]

Почему это наименьшее расстояние

Если поставить экран ближе, световое пятно будет меньше \(160\) см и экран окажется освещён не полностью. Ровно при \(x=500\) см пятно как раз равно высоте экрана \(B\). Дальше пятно будет больше, но минимально возможное расстояние — именно \(500\) см.

Ответ: \(500\) см (то есть \(5\) м).

Дано

Столб с фонарём:

• высота столба \(AC=5{,}4\) м;
• человек стоит на расстоянии \(CE=12\) м от столба;
• рост человека \(FE=1{,}8\) м;
• \(EB=x\) — искомая длина тени.

Найти: \(x\).

Решение

На рисунке получаются два подобных прямоугольных треугольника:

\[ \triangle ACB \sim \triangle FEB. \]

Причина подобия: у них равны углы — прямые углы при \(C\) и \(E\), а угол при вершине \(B\) общий. Кроме того, \(AC \parallel FE\), так как столб и человек стоят вертикально.

Из подобия треугольников:

\[ \frac{AC}{FE}=\frac{CB}{EB}. \]

При этом

\[ CB=CE+EB=12+x. \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{5{,}4}{1{,}8}=\frac{12+x}{x}. \]

Считаем отношение:

\[ \frac{5{,}4}{1{,}8}=3. \]

Получаем уравнение:

\[ 3=\frac{12+x}{x}. \]

Умножаем обе части на \(x\):

\[ 3x=12+x. \]

Переносим \(x\):

\[ 3x-x=12, \]

\[ 2x=12, \]

\[ x=6. \]

Ответ

Длина тени человека равна \(6\) м.