2.199

Краткий ответ

2.199. Вычислите: а) \(\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{4}\right)+\frac{9}{20}=\frac{3}{5}\); б) \(\frac{7}{30}+\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{6}\right)=\frac{2}{3}\); в) \(\frac{7}{8}-\left(\frac{1}{9}+\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{72}\); г) \(\left(\frac{5}{14}+\frac{9}{10}\right)-\frac{5}{7}=\frac{19}{35}\).

Как это устроено

Главный принцип: сначала действия в скобках, а складывать и вычитать можно только дроби с одинаковым знаменателем. Чтобы привести к общему знаменателю, берут НОК знаменателей и умножают числитель и знаменатель каждой дроби на «недостающий» множитель — значение дроби при этом не меняется.

а) Общий знаменатель 20: \[ \frac{2}{5}=\frac{8}{20},\quad \frac{1}{4}=\frac{5}{20};\quad \frac{8}{20}-\frac{5}{20}=\frac{3}{20};\quad \frac{3}{20}+\frac{9}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}. \]

б) Общий знаменатель 30: \[ \frac{3}{5}=\frac{18}{30},\quad \frac{1}{6}=\frac{5}{30};\quad \frac{18}{30}-\frac{5}{30}=\frac{13}{30};\quad \frac{13}{30}+\frac{7}{30}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}. \]

в) В скобках общий знаменатель 9: \[ \frac{1}{9}+\frac{2}{3}=\frac{1}{9}+\frac{6}{9}=\frac{7}{9}. \] Теперь общий знаменатель 72 (НОК 8 и 9): \[ \frac{7}{8}-\frac{7}{9}=\frac{63}{72}-\frac{56}{72}=\frac{7}{72}. \]

г) В скобках общий знаменатель 70: \[ \frac{5}{14}=\frac{25}{70},\quad \frac{9}{10}=\frac{63}{70};\quad \frac{25}{70}+\frac{63}{70}=\frac{88}{70}. \] Вычитаем \(\frac{5}{7}=\frac{50}{70}\): \[ \frac{88}{70}-\frac{50}{70}=\frac{38}{70}=\frac{19}{35}. \]

Проверка

• а) \(\frac{3}{5}=0{,}6\), а по частям: \(0{,}4-0{,}25+0{,}45=0{,}6\) ✔
• б) \(\frac{2}{3}\approx0{,}6\overline{6}\), по частям: \(0{,}2333+0{,}4333\approx0{,}6667\) ✔
• в) \(\frac{7}{72}\approx0{,}0972\), по частям: \(0{,}875-0{,}7778\approx0{,}0972\) ✔
• г) \(\frac{19}{35}\approx0{,}5429\), по частям: \(1{,}2571-0{,}7143\approx0{,}5429\) ✔

Полезный лайфхак: если знаменатели взаимно просты (как 8 и 9 или 10 и 14 после сокращения), общий знаменатель — их произведение, и приводить дроби особенно удобно.