75. В равнобедренном треугольнике ABC с периметром 30 см к его основанию проведена медиана BM длиной 6 см. Найдите периметр треугольника ABM.

Кратко: 75) \(21\) см; 76) \(30\) см; 77) и 78) доказательства ниже.

75. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) основание — \(AC\), поэтому \(AB=BC\). Медиана \(BM\) делит основание пополам: \[ AM=MC=\frac{AC}{2}. \] Периметр: \[ P_{ABC}=AB+BC+AC=2AB+AC=30. \] Разделим на 2: \[ AB+\frac{AC}{2}=15. \] Тогда \[ P_{ABM}=AB+AM+BM =AB+\frac{AC}{2}+6 =15+6=21. \]

\[ \boxed{21\text{ см}} \]

Проверка: \(P_{ABM}=\frac{P_{ABC}}{2}+BM=15+6=21\).

76. \(AM\) — медиана, значит \(M\) — середина \(BC\), поэтому \[ BC=2CM=2\cdot5=10\text{ см}. \] \(CK\) — медиана, значит \(K\) — середина \(AB\), поэтому \[ AB=2AK=2\cdot4=8\text{ см}. \] Следовательно, \[ P_{ABC}=AB+BC+AC=8+10+12=30\text{ см}. \]

\[ \boxed{30\text{ см}} \]

77. Точка \(K\) лежит на стороне \(AC\). Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(CBK\):

• \(AB=BC\) по условию;
• \(\angle ABK=\angle CBK\), так как \(BK\) — биссектриса;
• \(BK\) — общая сторона.

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому биссектриса \(BK\) делит треугольник \(ABC\) на два равных треугольника.

78. \(AM\) — высота, поэтому \[ AM\perp BC,\qquad \angle AMB=\angle AMC=90^\circ. \] Высота делит \(BC\) пополам, значит \[ BM=MC. \] Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(ACM\):

• \(BM=CM\);
• \(AM\) — общая сторона;
• \(\angle AMB=\angle AMC=90^\circ\).

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, соответствующие углы при вершине \(A\) равны: \[ \angle BAM=\angle MAC. \] Значит, \(AM\) действительно является биссектрисой треугольника \(ABC\).

Что важно понять: медиана всегда приходит в середину стороны, поэтому в периметрах удобно заменять целую сторону удвоенным известным отрезком. В задачах на доказательство ищи два треугольника с общей стороной и равными элементами.