7x² + y² − 4 = 0, 3x + y − 2 = 0.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
уравнений
ими
[обрезано]римеров решения систем двух уравне[обрезано]
[обрезано]ри этом будем использовать как анали[обрезано]
[обрезано]способы решения.

[обрезано] уравнений
$7x^{2}+y^{2}-4=0$,
$3x+y-2=0$.

[обрезано]нейное уравнение, поэтому для её ре[обрезано]
[обрезано]собом подстановки.
[обрезано]нения системы переменную $y$ через $x$.
[обрезано]дставив в первое уравнение системы
[обрезано]x, придём к уравнению:
[обрезано]2-3x)^{2}-4=0.
[обрезано]я, получим квадратное уравнение
[обрезано] 12x+9x^{2}-4=0.
[обрезано]м квадратное уравнение:
[обрезано]x^{2}-12x=0;
обрезано=0.

Answer

Краткий ответ: решения системы — $(0;\,2)$ и $\left(\dfrac{3}{4};\,-\dfrac{1}{4}\right)$.

Решение (метод подстановки)

1. Из линейного уравнения выражаем $y$ через $x$:
$$3x+y-2=0 \;\Rightarrow\; y=2-3x.$$

2. Подставляем это выражение в первое уравнение — остаётся уравнение только с $x$:
$$7x^2+(2-3x)^2-4=0.$$

3. Раскрываем квадрат и приводим подобные:
$$7x^2+4-12x+9x^2-4=0 \;\Rightarrow\; 16x^2-12x=0.$$

4. Выносим общий множитель:
$$4x(4x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{3}{4}.$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю — отсюда два корня.

5. Для каждого $x$ находим $y$ по формуле $y=2-3x$:

при $x=0$: $y=2$;

при $x=\frac{3}{4}$: $y=2-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}$.

Проверка

$(0;\,2)$: $7\cdot0^2+2^2-4=0$ ✓, $3\cdot0+2-2=0$ ✓.

$\left(\frac{3}{4};\,-\frac{1}{4}\right)$: $7\cdot\frac{9}{16}+\frac{1}{16}-4=\frac{63}{16}+\frac{1}{16}-4=4-4=0$ ✓, $3\cdot\frac{3}{4}-\frac{1}{4}-2=\frac{9}{4}-\frac{1}{4}-2=2-2=0$ ✓.

В чём принцип: подстановка сводит систему двух уравнений с двумя неизвестными к одному уравнению с одной неизвестной. Вторую переменную удобнее находить из линейного уравнения — так проще и не появляются лишние корни. Проверка обеих пар в исходной системе обязательна.