Реши 3 упр как надо
Сверь числа и знаки с фото.
- [Рисунок: прямоугольник, проведены обе диагонали, пересекающиеся в центре.] Диагональ прямоугольника образует угол 47° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: \(86^\circ\). (Решаю упражнение 3 — оно полностью видно на фото.)
Дано: прямоугольник \(ABCD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\); диагональ \(AC\) образует со стороной \(AB\) угол \(47^\circ\).
Найти: острый угол между диагоналями.
Решение:
- В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(AO=BO=CO=DO\).
- Значит, треугольник \(AOB\) равнобедренный с основанием \(AB\). Угол \(\angle OAB=47^\circ\), поэтому \(\angle ABO=47^\circ\).
- Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \[ \angle AOB=180^\circ-47^\circ-47^\circ=86^\circ. \] Это и есть острый угол между диагоналями; смежный с ним угол \(94^\circ\) — тупой.
Проверка: \(47^\circ+47^\circ+86^\circ=180^\circ\), и \(86^\circ<90^\circ\). Всё сходится.
Принцип: в похожей задаче ищи равнобедренный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной, и считай углы через сумму \(180^\circ\). Если угол дан с другой стороной, рассуждение аналогичное.
Ответ: \(86^\circ\).
Обсуждение
4 сообщенияМожешь с чертежом
Да. Вот чертёж к упражнению 3:
D •──────────────• C
│ \ / │
│ \ / │
│ \ / │
│ • O │
│ / \ │
│ / \ │
│ / \ │
A •──────────────• B
Точка \(O\) — пересечение диагоналей. У вершины \(A\) отмечен угол между стороной \(AB\) и диагональю \(AC\):
\[ \angle OAB=47^\circ. \]
Ключевой треугольник:
O
/ \
/ \
/ \
/ \
A •─────────• B
В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому
\[ AO=BO. \]
Значит, треугольник \(AOB\) равнобедренный, и
\[ \angle OAB=\angle ABO=47^\circ. \]
Тогда угол при вершине \(O\):
\[ \angle AOB=180^\circ-47^\circ-47^\circ=86^\circ. \]
Смежный угол равен \(94^\circ\), он тупой, поэтому острый угол между диагоналями — \(86^\circ\).
Ответ: \(86^\circ\).
А теперь соедини все дано,решение,ответ,чертеж
Упражнение 3
Условие. Диагональ прямоугольника образует угол \(47^\circ\) с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника.
Дано:
- \(ABCD\) — прямоугольник;
- \(AC\) и \(BD\) — диагонали, \(O\) — точка их пересечения;
- \(\angle OAB=47^\circ\).
Найти: острый угол между диагоналями.
Чертёж:
D •──────────────• C
│ \ / │
│ \ / │
│ \ / │
│ • O │
│ / \ │
│ / \ │
│ / \ │
A •──────────────• B
Угол между стороной \(AB\) и диагональю \(AC\):
\[ \angle OAB=47^\circ. \]
Рассмотрим треугольник \(AOB\):
O
/ \
/ \
/ \
/ \
A •─────────• B
Решение:
- Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому
\[ AO=BO=CO=DO. \]
- Значит, треугольник \(AOB\) равнобедренный с основанием \(AB\). Углы при основании равны:
\[ \angle OAB=\angle ABO=47^\circ. \]
- Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому
\[ \angle AOB=180^\circ-47^\circ-47^\circ=86^\circ. \]
- Угол \(\angle AOB=86^\circ\) — острый. Смежный с ним угол равен
\[ 180^\circ-86^\circ=94^\circ, \]
то есть он тупой. Значит, острый угол между диагоналями равен \(86^\circ\).
Проверка:
\[ 47^\circ+47^\circ+86^\circ=180^\circ. \]
Ответ: \(86^\circ\).
Ключевая идея: половины диагоналей прямоугольника образуют равнобедренный треугольник, поэтому угол между диагоналями считается через сумму углов треугольника.
