Реши номер 278
Замена \(z=x^2\ge 0\) (для \(y,t\) аналогично).
\[ \begin{aligned} \text{а)}&\quad z^2-5z-36=0 \Rightarrow z=9 \Rightarrow x=\pm3;\\ \text{б)}&\quad z^2-6z+8=0 \Rightarrow z=2;\,4 \Rightarrow y=\pm\sqrt2;\,\pm2;\\ \text{в)}&\quad (t^2+5)^2=0 \Rightarrow t^2=-5;\ \text{корней нет};\\ \text{г)}&\quad 4z^2-5z+1=0 \Rightarrow z=\frac14;\,1 \Rightarrow x=\pm\frac12;\,\pm1;\\ \text{д)}&\quad 9z^2-9z+2=0 \Rightarrow z=\frac13;\,\frac23 \Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt3}{3};\,\pm\frac{\sqrt6}{3};\\ \text{е)}&\quad (4y^2-1)^2=0 \Rightarrow y=\pm\frac12. \end{aligned} \]
Обсуждение
2 сообщенияРеши подробно
Подробно разбираю номер 278. Все уравнения биквадратные: делаем замену \(u=x^2\) (или \(y^2\)), причём \(u\ge 0\).
а)
\[
x^4-5x^2-36=0,\quad u=x^2\ge0
\]
\[
u^2-5u-36=0
\]
\[
D=25+144=169,\quad u_{1,2}=\frac{5\pm13}{2}
\]
\[
u_1=9,\quad u_2=-4
\]
\(u=-4\) не подходит, так как \(x^2\ge0\).
\[
x^2=9\Rightarrow x=\pm3
\]
б)
\[
y^4-6y^2+8=0,\quad u=y^2\ge0
\]
\[
u^2-6u+8=0
\]
\[
D=36-32=4,\quad u_{1,2}=\frac{6\pm2}{2}
\]
\[
u_1=4,\quad u_2=2
\]
\[
y^2=4\Rightarrow y=\pm2;\qquad y^2=2\Rightarrow y=\pm\sqrt2
\]
в)
\[
t^4+10t^2+25=0,\quad u=t^2\ge0
\]
\[
u^2+10u+25=0
\]
\[
(u+5)^2=0\Rightarrow u=-5
\]
Но \(u=t^2\ge0\), поэтому корней нет.
г)
\[
4x^4-5x^2+1=0,\quad u=x^2\ge0
\]
\[
4u^2-5u+1=0
\]
\[
D=25-16=9,\quad u_{1,2}=\frac{5\pm3}{8}
\]
\[
u_1=1,\quad u_2=\frac14
\]
\[
x=\pm1,\quad x=\pm\frac12
\]
д)
\[
9x^4-9x^2+2=0,\quad u=x^2\ge0
\]
\[
9u^2-9u+2=0
\]
\[
D=81-72=9,\quad u_{1,2}=\frac{9\pm3}{18}
\]
\[
u_1=\frac23,\quad u_2=\frac13
\]
\[
x=\pm\sqrt{\frac13}=\pm\frac{\sqrt3}{3}
\]
\[
x=\pm\sqrt{\frac23}=\pm\frac{\sqrt6}{3}
\]
е)
\[
16y^4-8y^2+1=0,\quad u=y^2\ge0
\]
\[
16u^2-8u+1=0
\]
\[
(4u-1)^2=0\Rightarrow u=\frac14
\]
\[
y^2=\frac14\Rightarrow y=\pm\frac12
\]
Ответ:
а) \(x=\pm3\);
б) \(y=\pm\sqrt2,\ \pm2\);
в) корней нет;
г) \(x=\pm1,\ \pm\frac12\);
д) \(x=\pm\frac{\sqrt3}{3},\ \pm\frac{\sqrt6}{3}\);
е) \(y=\pm\frac12\).
