пожалуйста реши.

Question

пожалуйста реши.

Расшифровка фото нейросетью:
Проверочная работа для 10 класса по теме: «Функции I степени Уравнения, неравенства, системы»

№ | Задания | баллы

1. Найдите область определения функции f: D → R, $f(x)=\frac{1}{x-2}+\sqrt{2x-1}$
Решение:

2. Решите на множестве R уравнение:
$3(x-2)+4(0,5x+3)=2x+7(3-2x)$
Решение:

3. Решите на множестве R неравенство:
$5(0,5x-4)+3x\le 0,25(4x-6)+8x$
Решение:

4. Задача: За три одинаковых блокнота и семь одинаковых ручек заплатили 29 леев., а за пять таких же блокнотов и четыре таких же ручек заплатили 33 леев. Найдите стоимость одного блокнота и одной ручки.
Решение:

5. Решите на множестве R совокупность неравенств:
$$\left[\begin{matrix}5(x-4)+3x \le -\frac{1}{3}(-6x+6)\2x-(1-x) \ge 2(0,5x+2)\end{matrix}\right.$$
Решение:

Answer

Краткие ответы

1. $D=[\,\tfrac12;\,2)\cup(2;+\infty)$

2. $x=\dfrac{15}{17}$

3. $x\in\bigl[-\tfrac{37}{7};+\infty\bigr)$, то есть $x\ge -5\tfrac{2}{7}$

4. Блокнот — 5 леев, ручка — 2 лея

5. $x\in\mathbb R$ (решение — вся числовая прямая)

Как решается

1. Область определения. Здесь два «запрета»: знаменатель не равен нулю и под корнем неотрицательное число.

$$
x-2\ne 0 \Rightarrow x\ne 2,\qquad 2x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge \tfrac12
$$

Соединяем условия: $D=[\,\tfrac12;2)\cup(2;+\infty)$. Точка 2 «выколота», точка $\tfrac12$ входит.

2. Линейное уравнение. Раскрываем скобки по отдельности:

$$
3(x-2)+4(0{,}5x+3)=3x-6+2x+12=5x+6
$$
$$
2x+7(3-2x)=2x+21-14x=21-12x
$$

Приравниваем: $5x+6=21-12x$, переносим: $17x=15$, значит $x=\tfrac{15}{17}\approx 0{,}88$.

Проверка: левая часть $\approx 3(-1{,}12)+4\cdot 3{,}44\approx 10{,}4$, правая $\approx 1{,}76+7\cdot 1{,}24\approx 10{,}4$ — сходится.

3. Линейное неравенство. Считаем каждую часть:

$$
5(0{,}5x-4)+3x=2{,}5x-20+3x=5{,}5x-20
$$
$$
0{,}25(4x-6)+8x=x-1{,}5+8x=9x-1{,}5
$$

$$
5{,}5x-20\le 9x-1{,}5 \Rightarrow -18{,}5\le 3{,}5x \Rightarrow x\ge -\frac{18{,}5}{3{,}5}=-\frac{37}{7}
$$

Проверка на $x=0$: $-20\le -1{,}5$ — верно, значит знак выбран правильно.

4. Задача на систему. Пусть $b$ — цена блокнота, $r$ — цена ручки:

$$
\begin{cases}3b+7r=29\ 5b+4r=33\end{cases}
$$

Умножим первое уравнение на 5, второе на 3 и вычтем:

$$
15b+35r=145,\qquad 15b+12r=99 \Rightarrow 23r=46 \Rightarrow r=2
$$

Тогда $3b=29-14=15$, откуда $b=5$.

Проверка: $3\cdot5+7\cdot2=29$ ✔, $5\cdot5+4\cdot2=33$ ✔.

5. Совокупность неравенств. Решаем каждое отдельно.

Первое: $5x-20+3x\le 2x-2$ (так как $-\tfrac13(-6x+6)=2x-2$)

$$
8x-20\le 2x-2 \Rightarrow 6x\le 18 \Rightarrow x\le 3
$$

Второе: $2x-1+x\ge x+4$

$$
3x-1\ge x+4 \Rightarrow 2x\ge 5 \Rightarrow x\ge 2{,}5
$$

Квадратная скобка означает совокупность, то есть объединение решений:

$$
(-\infty;3]\cup[2{,}5;+\infty)=\mathbb R
$$

Промежутки перекрываются ($2{,}5<3$), поэтому подходит любое число. Важно: если бы стояла система (фигурная скобка, пересечение), ответ был бы $[2{,}5;3]$.