Реши 1 уравнение через матрицу

Да, разберём систему 6.2 подробно и по шагам — так, чтобы был понятен сам принцип матричного решения.

1. Записываем систему в матричном виде

Дана система:

\[ \begin{cases} x_1-x_2+x_3=6,\\ x_1-2x_2+x_3=9,\\ x_1-4x_2-2x_3=3. \end{cases} \]

Она имеет вид \(AX=B\), где

\[ A= \begin{pmatrix} 1&-1&1\\ 1&-2&1\\ 1&-4&-2 \end{pmatrix}, \qquad X= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 6\\ 9\\ 3 \end{pmatrix}. \]

Смысл матричного способа такой: если \(\det A\ne 0\), то

\[ X=A^{-1}B. \]

То есть нужно найти обратную матрицу \(A^{-1}\) и умножить её на столбец \(B\).

---

2. Находим определитель матрицы \(A\)

\[ \det A= 1\cdot \begin{vmatrix} -2&1\\ -4&-2 \end{vmatrix} - (-1)\cdot \begin{vmatrix} 1&1\\ 1&-2 \end{vmatrix} + 1\cdot \begin{vmatrix} 1&-2\\ 1&-4 \end{vmatrix}. \]

Считаем определители второго порядка:

\[ \begin{vmatrix} -2&1\\ -4&-2 \end{vmatrix}=(-2)(-2)-1\cdot(-4)=4+4=8; \]

\[ \begin{vmatrix} 1&1\\ 1&-2 \end{vmatrix}=1\cdot(-2)-1\cdot1=-2-1=-3; \]

\[ \begin{vmatrix} 1&-2\\ 1&-4 \end{vmatrix}=1\cdot(-4)-(-2)\cdot1=-4+2=-2. \]

Тогда

\[ \det A=1\cdot8-(-1)\cdot(-3)+1\cdot(-2) =8-3-2=3. \]

Так как

\[ \det A=3\ne0, \]

обратная матрица существует, и матричный способ применим.

---

3. Находим матрицу алгебраических дополнений

Алгебраическое дополнение вычисляется по формуле

\[ C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, \]

где \(M_{ij}\) — минор, то есть определитель матрицы, полученной вычёркиванием \(i\)-й строки и \(j\)-го столбца.

Получаем:

\[ C= \begin{pmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{13}\\ C_{21}&C_{22}&C_{23}\\ C_{31}&C_{32}&C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&3&-2\\ -6&-3&3\\ 1&0&-1 \end{pmatrix}. \]

Поясню несколько элементов:

\[ C_{11}=(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -2&1\\ -4&-2 \end{vmatrix}=8; \]

\[ C_{12}=(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1&1\\ 1&-2 \end{vmatrix} =-(-3)=3; \]

\[ C_{21}=(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1&1\\ -4&-2 \end{vmatrix} =-(2+4)=-6. \]

Остальные элементы находятся аналогично.

---

4. Записываем присоединённую матрицу

Присоединённая матрица — это транспонированная матрица алгебраических дополнений:

\[ C^T= \begin{pmatrix} 8&-6&1\\ 3&-3&0\\ -2&3&-1 \end{pmatrix}. \]

---

5. Находим обратную матрицу

Обратная матрица вычисляется по формуле

\[ A^{-1}=\frac{1}{\det A}C^T. \]

Подставляем \(\det A=3\):

\[ A^{-1}= \frac13 \begin{pmatrix} 8&-6&1\\ 3&-3&0\\ -2&3&-1 \end{pmatrix}. \]

---

6. Находим неизвестные

Так как \(X=A^{-1}B\), получаем:

\[ X= \frac13 \begin{pmatrix} 8&-6&1\\ 3&-3&0\\ -2&3&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6\\ 9\\ 3 \end{pmatrix}. \]

Умножаем матрицу на столбец:

\[ \begin{pmatrix} 8&-6&1\\ 3&-3&0\\ -2&3&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6\\ 9\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\cdot6+(-6)\cdot9+1\cdot3\\ 3\cdot6+(-3)\cdot9+0\cdot3\\ (-2)\cdot6+3\cdot9+(-1)\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ -9\\ 12 \end{pmatrix}. \]

Значит,

\[ X= \frac13 \begin{pmatrix} -3\\ -9\\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ -3\\ 4 \end{pmatrix}. \]

То есть

\[ \boxed{x_1=-1,\qquad x_2=-3,\qquad x_3=4.} \]

---

7. Проверка

Подставляем найденные значения в исходные уравнения.

Первое уравнение:

\[ -1-(-3)+4=-1+3+4=6. \]

Второе уравнение:

\[ -1-2\cdot(-3)+4=-1+6+4=9. \]

Третье уравнение:

\[ -1-4\cdot(-3)-2\cdot4=-1+12-8=3. \]

Все три равенства выполняются, значит, решение верное.

\[ \boxed{(-1;-3;4)} \]

Главная идея: систему \(AX=B\) при \(\det A\ne0\) можно решить одной формулой

\[ X=A^{-1}B. \]

Сначала находим определитель, затем обратную матрицу, а потом умножаем её на столбец свободных членов.