337 -x²+8x−9≤0

На правой доске записан №337 — три квадратных неравенства. Краткие ответы:

1. \(x\in(-\infty;\,4-\sqrt7]\cup[4+\sqrt7;\,+\infty)\)
2. \(x\in\mathbb R\)
3. \(x\in(-\infty;\,-7)\cup(-7;\,+\infty)\)

Как решать

1. \[ -x^2+8x-9\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-8x+9\ge0. \] При умножении на \(-1\) знак неравенства меняется. Находим корни: \[ D=(-8)^2-4\cdot1\cdot9=28, \qquad x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{28}}{2}=4\pm\sqrt7. \] Парабола \(y=x^2-8x+9\) направлена ветвями вверх, поэтому она неотрицательна вне корней. Корни входят, так как неравенство нестрогое: \[ x\le4-\sqrt7 \quad\text{или}\quad x\ge4+\sqrt7. \]

2. \[ -3x^2+5x-9<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2-5x+9>0. \] \[ D=(-5)^2-4\cdot3\cdot9=25-108=-83<0. \] Корней нет, а коэффициент при \(x^2\) положителен, значит \(3x^2-5x+9>0\) при всех \(x\). Поэтому исходное неравенство верно для всех действительных \(x\).

3. \[ x^2+14x+49=(x+7)^2>0. \] Квадрат всегда неотрицателен, но он равен нулю при \(x=-7\). Строгое неравенство это значение исключает: \[ x\ne-7. \]

Проверка: в первом неравенстве \(x=0\) даёт \(-9\le0\) — верно, а \(x=4\) даёт \(7\le0\) — неверно. В третьем \(x=-7\) обращает левую часть в \(0\), поэтому не подходит.

Общий принцип: приведи неравенство к виду с положительным коэффициентом при \(x^2\), найди корни и посмотри, где парабола выше или ниже оси \(x\). При умножении на отрицательное число не забывай перевернуть знак неравенства.