Подробно
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 1
Даны векторы \(\vec a\{2; -3\}\), \(\vec b\{-1; 1\}\).
Найдите координаты векторов \(\vec m=\vec a+2\vec b\), \(\vec n=\vec a-2\vec b\).
Запишите разложение векторов \(\vec m\) и \(\vec n\) по координатным векторам \(\vec i\) и \(\vec j\).
Найдите среди векторов \(\vec k\{-6; 0\}\), \(\vec l\{0; 7\}\), \(\vec p\{-4; 5\}\), \(\vec r\{5; -5\}\) векторы, коллинеарные векторам \(\vec m\) и \(\vec n\).
Разложите вектор \(\vec c\) по векторам \(\vec k\) и \(\vec l\), если \(\vec c\{-12; 7\}\).
\[ \vec m=\vec a+2\vec b=(2;-3)+2(-1;1)=(0;-1), \] \[ \vec n=\vec a-2\vec b=(2;-3)-2(-1;1)=(4;-5). \]
Так как \(\vec i=(1;0)\), \(\vec j=(0;1)\), то \[ \vec m=0\vec i-\vec j=-\vec j,\qquad \vec n=4\vec i-5\vec j. \]
Вектору \(\vec m=(0;-1)\) коллинеарен \(\vec l=(0;7)\), потому что у обоих первая координата равна \(0\).
Вектор \(\vec p=(-4;5)\) противоположен \(\vec n=(4;-5)\), поэтому \(\vec p\parallel\vec n\).
\[ \vec l\parallel\vec m,\qquad \vec p\parallel\vec n. \]
- Ищем разложение \(\vec c=\alpha\vec k+\beta\vec l\): \[ (-12;7)=\alpha(-6;0)+\beta(0;7)=(-6\alpha;7\beta). \] Отсюда \(\alpha=2\), \(\beta=1\), значит, \[ \vec c=2\vec k+\vec l. \]
Обсуждение
2 сообщенияРеши все задачи по шагам подробно
Даны векторы: \[ \vec a=\{2;-3\},\qquad \vec b=\{-1;1\}. \]
1. Координаты векторов \(\vec m\) и \(\vec n\)
Сначала найдём \(2\vec b\): \[ 2\vec b=2\{-1;1\}=\{-2;2\}. \]
Тогда \[ \vec m=\vec a+2\vec b=\{2;-3\}+\{-2;2\}=\{0;-1\}. \]
Теперь вычтем \(2\vec b\): \[ \vec n=\vec a-2\vec b=\{2;-3\}-\{-2;2\} =\{2-(-2);-3-2\}=\{4;-5\}. \]
Ответ: \[ \boxed{\vec m=\{0;-1\},\qquad \vec n=\{4;-5\}} \]
2. Разложение \(\vec m\) и \(\vec n\) по координатным векторам \(\vec i\) и \(\vec j\)
Координатные векторы: \[ \vec i=\{1;0\},\qquad \vec j=\{0;1\}. \]
Поэтому вектор \(\{x;y\}\) записывается так: \[ \{x;y\}=x\vec i+y\vec j. \]
Для \(\vec m=\{0;-1\}\): \[ \vec m=0\cdot \vec i+(-1)\cdot \vec j=-\vec j. \]
Для \(\vec n=\{4;-5\}\): \[ \vec n=4\vec i-5\vec j. \]
Ответ: \[ \boxed{\vec m=-\vec j,\qquad \vec n=4\vec i-5\vec j} \]
3. Векторы, коллинеарные \(\vec m\) и \(\vec n\)
Даны: \[ \vec k=\{-6;0\},\quad \vec l=\{0;7\},\quad \vec p=\{-4;5\},\quad \vec r=\{5;-5\}. \]
Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны.
Векторы, коллинеарные \(\vec m=\{0;-1\}\)
У вектора \(\vec m\) первая координата равна \(0\), значит, у коллинеарного ему вектора тоже должна быть нулевая первая координата.
Среди данных векторов это \(\vec l=\{0;7\}\): \[ \vec l=\{0;7\}=-7\vec m. \] Значит, \[ \vec l\parallel \vec m. \]
Векторы, коллинеарные \(\vec n=\{4;-5\}\)
Проверим \(\vec p=\{-4;5\}\): \[ \vec p=\{-4;5\}=-1\cdot \{4;-5\}=-\vec n. \] Следовательно, \[ \vec p\parallel \vec n. \]
Остальные векторы неколлинеарны ни \(\vec m\), ни \(\vec n\).
Ответ: \[ \boxed{\vec l\parallel \vec m,\qquad \vec p\parallel \vec n} \]
4. Разложение \(\vec c\) по векторам \(\vec k\) и \(\vec l\)
Дано: \[ \vec c=\{-12;7\},\qquad \vec k=\{-6;0\},\qquad \vec l=\{0;7\}. \]
Ищем разложение в виде \[ \vec c=x\vec k+y\vec l. \]
Подставляем координаты: \[ \{-12;7\}=x\{-6;0\}+y\{0;7\}. \]
Получаем: \[ \{-12;7\}=\{-6x;7y\}. \]
Значит, \[ -6x=-12,\qquad 7y=7. \]
Отсюда: \[ x=2,\qquad y=1. \]
Следовательно, \[ \vec c=2\vec k+\vec l. \]
Проверка: \[ 2\{-6;0\}+\{0;7\}=\{-12;0\}+\{0;7\}=\{-12;7\}. \]
Ответ: \[ \boxed{\vec c=2\vec k+\vec l} \]
Итоговые ответы
\[ \boxed{\vec m=\{0;-1\},\quad \vec n=\{4;-5\}} \]
\[ \boxed{\vec m=-\vec j,\quad \vec n=4\vec i-5\vec j} \]
\[ \boxed{\vec l\parallel \vec m,\quad \vec p\parallel \vec n} \]
\[ \boxed{\vec c=2\vec k+\vec l} \]
