Задание 2. Решите систему уравнений {x²+y²=82, xy=9.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Задание 2. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=82,\\ xy=9. \end{cases} \]
Краткий ответ: \[ (x,y)=(1,9),\ (9,1),\ (-1,-9),\ (-9,-1). \]
Как рассуждать. Система симметричная, поэтому удобно перейти к сумме и произведению: \[ s=x+y,\qquad xy=9. \] Тогда \[ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=s^2-18. \] По условию: \[ s^2-18=82 \quad\Rightarrow\quad s^2=100 \quad\Rightarrow\quad s=\pm 10. \]
При известных сумме \(s\) и произведении \(9\) числа \(x\) и \(y\) являются корнями уравнения \[ t^2-st+9=0. \]
Если \(s=10\): \[ t^2-10t+9=0, \] корни \(1\) и \(9\). Получаем пары \((1,9)\) и \((9,1)\).
Если \(s=-10\): \[ t^2+10t+9=0, \] корни \(-1\) и \(-9\). Получаем пары \((-1,-9)\) и \((-9,-1)\).
Проверка: во всех парах \(xy=9\), а \(x^2+y^2=1+81=82\).
Обсуждение
6 сообщенийкак получили выражение (х+у)кадрат - 2ху
Это формула квадрата суммы, только прочитанная «наоборот».
Раскроем скобки: \[ (x+y)^2=(x+y)(x+y)=x^2+xy+xy+y^2=x^2+2xy+y^2. \]
Значит, \[ x^2+2xy+y^2=(x+y)^2. \]
Теперь вычтем из обеих частей \(2xy\): \[ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy. \]
То есть мы выразили сумму квадратов \(x^2+y^2\) через сумму \(x+y\) и произведение \(xy\).
Проверим на числах: пусть \(x=1\), \(y=3\). Тогда \[ x^2+y^2=1+9=10, \] а по формуле: \[ (x+y)^2-2xy=(1+3)^2-2\cdot1\cdot3=16-6=10. \] Совпадает.
В вашей системе \(xy=9\), поэтому \[ x^2+y^2=(x+y)^2-2\cdot9=(x+y)^2-18. \]
х квадрат-82х+81=0
Вы получили почти то уравнение, но переменную нужно обозначить иначе. Если подставить \(y=\frac{9}{x}\) (при \(x\neq0\)), то: \[ x^2+\left(\frac{9}{x}\right)^2=82 \] \[ x^2+\frac{81}{x^2}=82 \] Умножим на \(x^2\): \[ x^4+81=82x^2 \] \[ x^4-82x^2+81=0 \]
Теперь обозначим \(t=x^2\), где \(t\ge0\): \[ t^2-82t+81=0 \]
Корни этого уравнения: \[ t_1=1,\qquad t_2=81 \] потому что \(1+81=82\) и \(1\cdot81=81\).
Возвращаемся к \(x\): \[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1 \] \[ x^2=81 \Rightarrow x=\pm9 \]
А \(y\) находим из \(xy=9\), то есть \(y=\frac{9}{x}\). Получаем те же пары: \[ (1,9),\ (9,1),\ (-1,-9),\ (-9,-1). \]
Важно: запись \(x^2-82x+81=0\) — это уравнение уже для \(t=x^2\), а не для \(x\). Если решить его как уравнение относительно \(x\), получатся \(x=1\) и \(x=81\), но \(x=81\) решением системы не является: тогда \(y=\frac{1}{9}\), и \(x^2+y^2\neq82\). Поэтому правильно писать либо \(x^4-82x^2+81=0\), либо \(t^2-82t+81=0\), где \(t=x^2\).
покажи как нашли дискриминант
Для уравнения \[ t^2-82t+81=0 \] коэффициенты такие: \[ a=1,\quad b=-82,\quad c=81. \]
Формула дискриминанта: \[ D=b^2-4ac. \]
Подставляем: \[ D=(-82)^2-4\cdot1\cdot81. \] \[ D=6724-324=6400. \]
Тогда \[ \sqrt D=\sqrt{6400}=80. \]
Корни: \[ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{82\pm80}{2}. \]
То есть: \[ t_1=\frac{82+80}{2}=\frac{162}{2}=81, \] \[ t_2=\frac{82-80}{2}=\frac{2}{2}=1. \]
Значит, \[ t^2-82t+81=0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \text{ или } t=81. \]
Так как \(t=x^2\), получаем: \[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1, \] \[ x^2=81 \Rightarrow x=\pm9. \]
А \(y\) находим из \(xy=9\).
Если же решать через сумму \(s=x+y\), то уравнение было \[ t^2-st+9=0, \] и его дискриминант: \[ D=s^2-4\cdot1\cdot9=s^2-36. \] При \(s=10\): \[ D=100-36=64,\quad \sqrt D=8. \] Тогда корни: \[ t=\frac{10\pm8}{2}, \] то есть \(9\) и \(1\) — это пары \((1,9)\) и \((9,1)\).
